|
Feladat: |
2172. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Báder Attila , Bodrogi Péter , Derényi Imre , Horváth András , Németh László , Peti Peterdi János , Rozgonyi Tamás , Szalma Csaba , Szikrai Szabolcs , Szikszai Zita , Tasnádi Tamás , Tavaszi Gábor |
Füzet: |
1987/november,
416 - 418. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Tehetetlenségi nyomaték, Forgási energia, Mozgási energia, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1986/november: 2172. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először egy egyszerűbb feladatot oldunk meg, melynek eredményéből azonban könnyen adódik az eredeti probléma megoldása is. Tekintsünk egy nyílásszögű kúpot, amelynek alapköre sugarú és tömegű vékony korong, a kúp többi része pedig elhanyagolható tömegű. Mekkora ezen test mozgási energiája, ha egy vízszintes lapon csúszásmentesen gördül, s az alapkörének középpontja szögsebességgel mozog?
1. ábra A korong tömegközéppontja az 1. ábrán látható pont körül szögsebességgel mozog, s mivel az szakasz hossza a tömegközéppont sebessége A korong haladó mozgásához tartozó mozgási energia eszerint | |
A korong a haladó mozgás mellett forgómozgást is végez. Ez a mozgás két részből tevődik össze. Egyrészt a korong forog a szimmetriatengelye körül bizonyos szögsebességgel. Mivel az asztallapon éppen nyugvó pont sebessége ‐ amely a tömegközéppont és a forgómozgás sebességének különbségeként számítható ki ‐ nyilvánvalóan nulla kell legyen, adódik.
2. ábra Rajzoljuk le a kúpot felülnézetben (2. ábra)! Amennyiben a kúp csupán haladó és a szimmetriatengelye körüli forgómozgást végezne, úgy egy kicsiny idő alatt a kúp csúcspontja -ból -be, az eredeti helyétől távolságba mozdulna el. A valóságban a kúp az tengely körül is elfordul, méghozzá pontosan annyit, hogy a csúcspont mozdulatlan maradjon; ez teszi lehetővé a "kanyarodását''. Ha ezen forgás szögsebességét -vel jelöljük, akkor a csúcspont helybenmaradásának feltétele ahonnan felhasználásával adódik. 3. ábra Mekkora a korong forgási energiája? Ha egy homogén korongot a szimmetriatengelye körül , az egyik átmérője körül pedig szögsebességgel forgatunk, akkor a 3. ábrán látható tömegű darabkájának mozgási energiája | | (Kihasználtuk, hogy a kétféle mozgásból adódó sebességek merőlegesek egymásra, így a sebességek négyzetei a Pithagorász-tétel értelmében adódnak össze.) A korong teljes forgási energiája | | A fenti egyenlet első szögletes zárójelében éppen a korongnak a szimmetriatengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, vagyis áll, a második szögletes zárójelben pedig ennek fele: . (Ez utóbbi az és az tengelyek felcserélhetőségéből, a egyenlőségből következik.) A kúp teljes mozgási energiája eszerint: | | ami a korábbi részeredmények felhasználásával
Térjünk most vissza az eredeti probléma megoldásához! Szeleteljük fel képzeletben a homogén kúpot a szimmetriatengelyére merőleges síkok segítségével vékony korongokra!
4. ábra A korongok tömegét -vel, sugarát pedig -vel jelölve (4. ábra), a gördülő kúp teljes mozgási energiája a fentebb vizsgált feladat eredményének felhasználásával: | | A kapcsos zárójelben álló kifejezés ‐ az egyes korongok tehetetlenségi nyomatékainak összege ‐ a feladat kitűzésénél megadott érték, így a keresett mozgási energia
|
|