Kezdőlap


Feladat:	2157. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Beke Tibor , Csordás Zoltán Mihály , Szepesi Zsuzsanna
Füzet:	1987/május, 233 - 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Erőrendszer eredője, Lejtő, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/október: 2157. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, milyen erők ébrednek, ha a rendszer a feladatban leírtak szerint mozog.

1. ábra

Az erőket és a gyorsulásokat az ábrán látható módon felvéve a henger mozgásegyenletei:

\begin{matrix} M \cdot g + K - S \cdot sin α - N \cdot cos α = M \cdot a_{y} = 0, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} S \cdot cos α - N \cdot sin α = M \cdot a_{x} = 0. \end{matrix}

(2)

A tömegközéppont körüli forgás egyenlete:

\begin{matrix} Θ \cdot β = K \cdot r - S \cdot r . (Θ = \frac{1}{2} M r^{2} .) \end{matrix}

(3)

m

tömegű test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m \cdot a = m \cdot g - K . \end{matrix}

(4)

(Ez az egyenlet ilyen formában csak akkor érvényes, ha a fonál függőleges, vagyis ha a henger középpontja nem mozdul el.) Mivel a henger palástja csúszik a lejtő felületén, a súrlódási erő

\begin{matrix} S = μ \cdot N . \end{matrix}

(5)

A fonál nyújthatatlansága kényszerfeltételt jelent

a

és

β

között:

\begin{matrix} a = r \cdot β . \end{matrix}

(6)

Fel kell tételezzük továbbá, hogy a henger az ábrán jelölt irányba forog, azaz

\begin{matrix} r β = a ≧ 0, \end{matrix}

(7)

ellenkező esetben ugyanis

S

nem az (5) által megadott érték, hanem annak

(- 1)

-szerese lenne.
A (2) és (5) egyenletek összevetéséből

\begin{matrix} \frac{S}{N} = μ = tg α \end{matrix}

(8)

adódik, tehát csak pontosan ekkora súrlódási együttható mellett valósulhat meg a henger egy helyben forgása.

μ > tg α

vagy

μ < tg α

esetén a henger gyorsulva elindul fel-, illetve lefelé, ekkor azonban a fonál nem marad függőleges, és a fenti egyenletekkel a rendszer mozgását nem tudjuk leírni.
Az (1)‐(6) egyenletrendszert megoldva az

m

tömegű test gyorsulására az

\begin{matrix} a = \frac{m (1 - sin α) - M sin α}{m (1 - sin α) + M / 2} \cdot g \end{matrix}

(9)

kifejezést kapjuk. Az

a ≧ 0

feltétel csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} \frac{m}{M} ≧ \frac{sin α}{1 - sin α}, azaz \frac{m}{m + M} ≧ sin α . \end{matrix}

(10)

(Egyenlőség esetén csak akkor jön létre egyenletes mozgás, ha a rendszert kezdetben mozgásba hozzuk.) A (10) feltétel jól egyezik a szemléletünkkel: minél meredekebb a lejtő, annál nagyobbnak kell lennie

m

-nek

M

-ha képest, hogy létrejöhessen a leírt mozgás.