Kezdőlap


Feladat:	2138. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Banicz Károly , Gyuris Viktor , Horváth András , Németh Csaba
Füzet:	1987/április, 183 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás-stabilitás, Arkhimédész törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/május: 2138. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $l$ a hasáb hosszúságát, $ϱ$ a sűrűségét. Legyen a víz sűrűsége és a hasáb alaplapjának éle egységnyi. Mivel a hasáb hosszú, azaz mivel $l ≫ 1,$ felesleges foglalkozni az alaplappal párhuzamos tengely körüli elfordulásokkal, elegendő a stabilitást az oldallapokkal párhuzamos tengely körüli kis, $α$ -szögű elforgatásokon vizsgálni.

Stabil egyensúlyi helyzetben a rendszer helyzeti energiája minimális. A teljes energia két részre bontható, a hasáb és a kiszorított víz helyzeti energiájára. Tekintsük a helyzeti energia nullszintjének a vízszintet.
Elfordítás előtt

s

magasságig merül víz alá a hasáb. A kiszorított víz és a hasáb tömege megegyezik, így fenti megkötéseink alapján:

\begin{matrix} s = ϱ . \end{matrix}

Így a súlypont távolsága a vízszinttől,

\bar{O F} = 1 / 2 - ϱ

. A hasáb helyzeti energiája:

\begin{matrix} E_{0}^{hasáb} = l \cdot g \cdot ϱ \cdot (1 / 2 - ϱ) . \end{matrix}

A kiszorított víz energiája (a kiszorított víz súlya szorozva a bemerülő rész súlypontjának a felszíntől mért távolságával).

\begin{matrix} E_{0}^{víz} = l \cdot g \cdot ϱ / 2. \end{matrix}

Azaz a teljes helyzeti energia kezdetben:

\begin{matrix} E_{0}^{teljes} = 1 / 2 \cdot l \cdot g (ϱ - ϱ^{2}) . \end{matrix}

Az elforgatás után (lásd az ábrát) jelölje a trapéz két oldalát

x

és

y

. Mivel a kiszorított víz és a hasáb súlya továbbra is megegyezik, így a trapéz középvonala

s

hosszúságú, azaz

\begin{matrix} \frac{x + y}{2} = ϱ . \end{matrix}

Teljesül a következő egyenlet is:

\begin{matrix} x - y = tg α . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} x = ϱ + 1 / 2 tg α, \\ y = ϱ - 1 / 2 tg α . \end{matrix}

Az ábra alapján a súlypont távolsága a víz felszínétől (

1 / 2 - ϱ) cos α

, így a hasáb megváltozott helyzeti energiája

\begin{matrix} E_{1}^{hasáb} = l \cdot g \cdot ϱ (1 / 2 - ϱ) cos α . \end{matrix}

A teljes energia másik részét bontsuk további két részre, az

A B G_{1} I

téglalapból és az

I G_{1} H_{1}

háromszögből származó tagra. Az előbbi járuléka:

\begin{matrix} E_{(1)}^{viz} = l \cdot g \cdot y (ϱ - y / 2) cos α = l \cdot g \cdot [ϱ^{2} / 2 - {tg}^{2} α / 8] \cdot cos α . \end{matrix}

A háromszög területe

(x - y) / 2,

magassága

(x - y) \cdot cos α

. Mivel a háromszög súlypontja harmadolja a súlyvonalakat, és az

I

csúcshoz tartozó súlyvonal vízfelületre merőleges vetülete éppen a fenti magasság, így e tag járuléka:

\begin{matrix} E_{2}^{víz} = l \cdot g \cdot \frac{x - y}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot (x - y) cos α = \frac{{tg}^{2} α}{6} cos α . \end{matrix}

A tg

α ≅ α

és a

cos α ≅ 1 - α^{2} / 2

közelítéseket alkalmazva mivel

α

kicsi, s elhanyagolva a négyzetnél magasabb rendű tagokat

α

-ban, a teljes energia:

\begin{matrix} E_{1}^{teljes} = 1 / 2 (ϱ - ϱ^{2}) + 1 / 4 (ϱ^{2} - ϱ + 1 / 6) α^{2}, \end{matrix}

azaz az energia megváltozása:

\begin{matrix} Δ E = 1 / 4 (ϱ^{2} - ϱ + 1 / 6) α^{2} . \end{matrix}

Az egyensúlyi feltétel, hogy tetszőlegesen kis

α

-ra növekedjék az energia; azaz

\begin{matrix} ϱ^{2} - ϱ + 1 / 6 > 0 \end{matrix}

teljesüljön. Innen (a

0 < ϱ < ϱ_{víz}

feltételt is kihasználva)

\begin{matrix} 0 < ϱ < \frac{3 - \sqrt[]{3}}{6} \cdot ϱ_{víz}, vagy \frac{3 + \sqrt[]{3}}{6} ϱ_{víz} < ϱ_{víz} \end{matrix}

adódik.

Megjegyzés. Megvizsgálhatjuk a hasáb egy másik helyzetének stabilitását is, amikor az 1 hosszúságú élek függőlegesen állnak. Hasonló módon levezetve, a stabilitásra a következő feltételt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{3 l + 9 l^{2} - 6}{6 l} ϱ_{víz} < ϱ_{víz} . \end{matrix}