Kezdőlap


Feladat:	2127. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1987/március, 139 - 140. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test térbeli mozgása, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/április: 2127. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelöléseket: Legyen $R_{0}$ a golyó középpontja által leírt kör sugara

\begin{matrix} R_{0} = R - (r + ϱ) sin α \end{matrix}

(1)

Jelölje

ω (t)

a golyó pillanatnyi szögsebességét,

ω_{k}

a középpontjának keringési sebességét. (Lásd az ábrát.)

ω (t)

nagysága állandó, csak iránya változik a keringés során.
A golyóra a következő erők hatnak:
─ a

G = m g

nehézségi erő,
─ a

K

kényszererő, amely a golyó és a körgyűrű között lép fel, és merőleges az érintkező felületekre,
─ az

F_{t}

tapadási súrlódási erő, mivel a golyó nem csúszik meg oldalirányba (lásd az ábrát).

Az erők eredője biztosítja a golyó körpályán tartásához szükséges centripetális erőt, azaz vízszintes és függőleges komponensekre felbontva:

\begin{matrix} K sin α - F_{t} cos α = m R_{0} \cdot ω_{k}^{2}, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} m g - K cos α - F_{t} sin α = 0. \end{matrix}

(3)

Mivel a

K

és

G

erők hatásvonala átmegy a golyó súlypontján, nincs forgatónyomatékuk. Így a perdület idő szerinti deriváltja:

\begin{matrix} \frac{d N}{d t} = θ \frac{d ω}{d t} = F_{t} \cdot r, \end{matrix}

(4)

ahol

θ = \frac{2}{5} m r^{2}

a gömb tehetetlenségi nyomatéka.

Vizsgáljuk

ω (t)

és

ω_{k}

kapcsolatát!

A golyó középpontjának sebessége egyrészt

ω_{k} R_{0}

a keringésből, másrészt

ω r

a gördülésből:

\begin{matrix} ω_{k} R_{0} = ω \cdot r . \end{matrix}

(5)

ω

függőleges komponense állandó, míg az

ω cos α

nagyságú vízszintes komponense

ω_{k}

szögsebességgel forog. Az idő szerinti deriváltja tehát (hasonlóan egy forgó helyvektor időderiváltjához:

\begin{matrix} | \frac{d ω}{d t} | = ω_{k} ω cos α . \end{matrix}

(6)

Megvan a szükséges számú független egyenletünk. A (4), (5) és (6) egyenletből:

\begin{matrix} F_{t} = \frac{2}{5} m R_{0} ω_{k}^{2} cos α, \end{matrix}

(7)

a (2) és (3) egyenletből pedig

\begin{matrix} m g sin α - F_{t} = m R_{0} ω_{k}^{2} cos α . \end{matrix}

(8)

Végül az utolsó két egyenletből a golyó keringési sebessége:

\begin{matrix} ω_{k} = \sqrt[]{\frac{5}{7} \frac{g}{R_{0}} tgα} . \end{matrix}

Megjegyzés. Két megoldó kivételével senki sem vette figyelembe, hogy a szögsebesség iránya folyamatosan változik, s hogy ezt a tapadási súrlódási erő nyomatéka biztosítja. Így mindenki megelégedett a körpályán mozgás feltételeinek felírásával. A két megoldás viszont egy iskolából érkezett, s feltűnően hasonlított egymásra. Ez a magyarázata a pontszámoknak.