Kezdőlap


Feladat:	2118. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czifrus Szabolcs , Kelemen Eszter
Füzet:	1987/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/március: 2118. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A testek abban a pillanatban válnak el, amikor az $m$ tömegű, kis méretű golyó már nem gyorsítja tovább az $M$ testet, tehát annak vízszintes irányú gyorsulása éppen zérus. Ez azt jelenti, hogy a köztük ható $N$ nyomóerő ekkor válik nullává. Az elválás pillanatáig a két test vízszintes irányú gyorsulása egyenlő, így a $K$ rúderő is nullává válik, ellenkező esetben ugyanis a golyó vízszintes gyorsulását okozná.

Az elválás pillanatában az

m g

súlyerő rúdirányú komponense tartja körpályán a golyót. Ha annak sebessége

u

, akkor

\begin{matrix} m g sin 30^{\circ} = m u^{2} / l \end{matrix}

alapján

\begin{matrix} u = \sqrt[]{l g / 2} . \end{matrix}

A két test sebességének vízszintes komponense megegyezik, azaz

M

sebessége

\begin{matrix} v = u \cdot sin 30^{\circ} = u / 2 = \sqrt[]{l g / 8} . \end{matrix}

M / m

tömegarányt az energiamegmaradás törvényének felhasználásával számolhatjuk ki. Az

m

tömegű golyó helyzeti energiája alakul át a két test mozgási energiájává:

\begin{matrix} m g l (1 - sin α) = \frac{1}{2} m {(2 v)}^{2} + \frac{1}{2} M v^{2} . \end{matrix}

Ebből a keresett tömegarány:

\begin{matrix} M / m = 4. \end{matrix}

II. megoldás. A két test tömegének

M / m

arányát más úton is meghatározhatjuk. Könnyen belátható, hogy az elválás pillanatáig az

M

test gyorsulása állandóan pozitív

(N > 0)

, ezután pedig, ha a két test valamilyen módon össze lenne ragasztva,

N < 0

révén negatív lenne. Az elválás tehát a sebesség maximális értékénél következik be. Az energiamegmaradás törvénye alapján a sebességnégyzet szögfüggése a következő:

\begin{matrix} v^{2} = \frac{2 m g l (1 - sin α)}{M + \frac{m}{sin^{2} α}} . \end{matrix}

Ennek

α

szerinti maximuma

\begin{matrix} \frac{M}{m} = \frac{2 - 3 sin α}{sin^{2} α} \end{matrix}

-nál van.

α = 30^{\circ}

helyettesítéssel adódik a keresett

M / m = 4

arány, a sebesség értékét pedig

v^{2}

kifejezéséből számolhatjuk ki.