Kezdőlap


Feladat:	2098. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Péter , Czigány Zsolt , Kintli Lajos
Füzet:	1986/december, 477 - 478. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: 2098. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyatomos ideális gáz állandó térfogaton vett fajhője: $C_{V} = (3 / 2) (R / M)$ . A gázok állapotegyenlete: $p V = (m / M) R T$ . A belső energiája $E = C_{V} m T$ . Fejezzük ki az állapotegyenletből a $T$ hőmérsékletet, és $C_{V}$ -vel együtt írjuk be a belső energia kifejezésébe. Így a következő összefüggést kapjuk: $E = (3 / 2) p \cdot V$ .
Jelöljük $D$ -vel a körfolyamat $A B$ szakaszán azt a pontot, amíg hőfelvétel történik. Így $Q_{A D} > 0$ és $Q_{D B} < 0$ . Határozzuk meg a $D$ pont helyét! Az $A$ és $B$ pontokon átmenő egyenes egyenlete:

\begin{matrix} p (V) = p_{0} / V_{0} (- V + 5 V_{0}) . \end{matrix}

(1)

Kis,

Δ V ≪ V

térfogatváltozás esetén a gáz tágulása közben végzett munka:

\begin{matrix} Δ W = - p \cdot Δ V = p_{0} / V_{0} (5 V_{0} - V) Δ V . \end{matrix}

(2)

Eközben a gáz belső energiájának megváltozása

\begin{matrix} Δ E = Δ (3 / 2 p V) = (3 / 2) [p (V + Δ V) \cdot (V + Δ V) - p (V) \cdot V] . \end{matrix}

(3)

Az utóbbi kifejezésbe beírva az (1) nyomásfüggvény

V + Δ V

helyen vett értékeit és elhanyagolva a

{(Δ V)}^{2}

-es tagokat:

\begin{matrix} E = (3 / 2) (p_{0} / V_{0}) (5 V_{0} - 2 V) Δ V . \end{matrix}

Δ V

szakaszon a hőfelvétel pedig:

\begin{matrix} Q_{V} = Δ E - Δ W = (p_{0} / 2 V_{0}) (25 V_{0} - 8 V) Δ V . \end{matrix}

Látjuk, hogy

V < (25 / 8) V_{0}

esetén

Δ Q Δ V > 0

, a gáz hőt vesz fel. A

D

pontnál a térfogat

V_{D} = (25 / 8) V_{0}

. (1)-ből:

p_{D} = (15 / 8) p_{0}

. Az

A D

szakaszon a munkavégzés:

\begin{matrix} W_{A D} = - \frac{p_{A} + p_{D}}{2} (V_{D} - V_{A}) = - \frac{799}{128} p_{0} V_{0} . \end{matrix}

A belső energia változása:

\begin{matrix} E_{A D} = \frac{3}{2} (p_{D} V_{D} - p_{A} V_{A}) = \frac{357}{128} p_{0} V_{0} . \end{matrix}

Végül az

A D

szakaszon felvett hő:

\begin{matrix} Q_{A D} = Δ E_{A D} - W_{A D} = 289 / 32 p_{0} V_{0} . \end{matrix}

B C

szakaszon

Δ E_{C B} < 0

, mert a hőmérséklet csökken, és

W_{C B} > 0

, mert a gáz összenyomódik, így a

Q_{B C} = Δ E_{C B} - W_{C B} < 0

. A gáz tehát hőt ad le ezen a szakaszon.
A

C A

szakaszon

W_{C A} = 0

, hiszen a térfogat állandó. Így

\begin{matrix} Q_{C A} = Δ E_{C A} = (3 / 2) \cdot (p_{A} V_{A} - p_{C} V_{C}) = (9 / 2) p_{0} V_{0}, \end{matrix}

azaz a rendszer hőt vesz fel.
A hasznos munka az

A B

és a

C B

egyenesek alatti területek különbségének abszolútértéke, ami a körfolyamat által bezárt területtel egyezik meg:

\begin{matrix} W_{hasznos} = (9 / 2) p_{0} V_{0} . \end{matrix}

A teljes felvett hő nagysága:

\begin{matrix} Q_{fel} = Q_{A D} + Q_{C A} = 433 / 32 p_{0} V_{0} . \end{matrix}

A körfolyamat hatásfoka:

\begin{matrix} \frac{W_{hasznos}}{Q_{fel}} = \frac{144}{433} \approx 33,26 % . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A

D

pont helyét több megoldó más módon határozta meg. Ha felrajzoljuk az ideális gáz adiabatáinak egyenletét

(p V = áll.)

, akkor lesz egy, amely a

D

pontban érinti az

A B

egyenest. A két görbe meredekségének egyenlőségéből az előző megoldással egyező eredményt kapunk

V_{D}

-, ill.

p_{D}

-re.
2. Legtöbb megoldás azért hibás, mert feltételezték, hogy az

A B

szakaszon végig hőfelvétel van.