Kezdőlap


Feladat:	2096. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Péter
Füzet:	1986/november, 428. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Árammérés (ampermérő), Egyéb áramerősség, Ellenállásmérés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1986/január: 2096. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor egy végtelen féltérbe, felszínének valamely $A$ pontján keresztül $I$ áramot vezetünk. A belépő áram az anyagban egyenletesen oszlik el egy félgömb felszínén. Így az áramsűrűség (az egységnyi felületen átfolyó áram) az $A$ ponttól $r$ távolságra:

\begin{matrix} j = \frac{I}{2 π r^{2}} . \end{matrix}

A fenti eredmény a féltér szimmetriájának egyszerű következménye. Felhasználva a differenciális Ohm törvényt (

E = ϱ j

), a térerősség az

A

ponttól

r

távolságra:

\begin{matrix} E = ϱ \cdot \frac{I}{2 π r^{2}} . \end{matrix}

Ugyanekkora térerősséget kapunk, ha az

A

pontban egy

Q = 2 ε_{0} ϱ I

nagyságú ponttöltést helyezünk el. A tér potenciálja pedig:

\begin{matrix} V (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q}{r} = \frac{ϱ I}{2 π r} . \end{matrix}

Könnyen belátható, hogy a féltér felszínének

B

pontjából kivezetett

I

erősségű áram potenciálja megegyezik egy

Q = - 2 ε_{0} ϱ I

töltésű ponttöltés által létrehozott potenciállal. Az így számított potenciálok a szuperpozíció elve szerint összeadódnak. Az ábra szerinti

U_{C D}

feszültség pedig nem más, mint a

C

, ill.

D

pontbeli potenciálértékek különbsége:

\begin{matrix} U_{C D} = V_{C} - V_{D} = \frac{ϱ I}{2 π} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt[]{2} x}) - \frac{ϱ I}{2 π} (\frac{1}{\sqrt[]{2} x} - \frac{1}{x}) . \end{matrix}

Felhasználva, hogy a kísérletek szerint

U = R \cdot I

, az átrendezés után adódik, hogy a minta fajlagos ellenállása:

\begin{matrix} ϱ = (2 + 2) π R x . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Mint ahogy több megoldó is megjegyezte, a fenti eljárás egy ismert és gyakran használt módszer a fajlagos ellenállás mérésére.
2. A feladat megoldásában használt analógia a stacionárius áramlási tér és a sztatikus elektromos tér között elméleti úton pontosan megalapozható.
3. A gyakorlati mérések során a mérési nehézséget az

x

távolság csökkentése jelenti, hiszen csak ekkor jó közelítés a minta végtelen féltérként való kezelése.