A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az egyszerűség kedvéért vegyük a súrlódást -nak a henger felső, száraz pereménél. Írjuk fel az erő és nyomatéki egyensúlyokat az 1. ábra szerinti helyzetben, tehát esetén.
1. ábra
Mivel a vékony pálca keresztmetszete nem adott, vezessük be erőegységként a pálca egységnyi hosszának a súlyát!
f1=F1/A⋅ϱ⋅g,f2=F2/A⋅ϱ⋅g.
Mivel ezért | h=ysinα⋅ϱvϱ+f1cosα+f2sinβ, | (2) |
| h⋅h2cosα=f1⋅2rsinα+ysinα⋅ϱvϱ⋅y/2tg α. | (3) | Mivel az F2 vízszintes komponense tapadási súrlódási erő:
Ezen kívül feltétel még, hogy
Az erő és nyomatéki egyensúlyok a 2. ábra szerinti helyzetben, tehát α<45∘ esetén:
2. ábra
ΣFx=0,F1⋅sinα=F2cosβ;ΣFy=0,G=Ff+F1⋅cosα+F2⋅sinβ;ΣMA=0,G⋅h2⋅cosα=F1⋅2rcosα+Ff⋅[y-2r(1-tg α)]/2tg α.
A felhajtóerő:
Ff=0,hay-2r(1-tg α)<0;Ff=y-2r(1-tgα)sinαA⋅ϱvg,hay-2r(1-tgα)=0.
Először keressük az egyensúlyi helyzeteket ebben a két esetben. Vigyázat: a 45∘-kal való egyenlőséget, azaz a sarokba szorult helyzetet óvatosan kerültük. Ezért ha y-2r(1-tgα)<0,
| ϱvh=y-2r(1-tgα)sinαϱvϱ+f1cosα+f2sinβ, | (2') |
| h⋅h2⋅cosα=f12rcosα+[y-2r(1-tgα)]22sinα⋅tgαϱvϱ. | (3') | Az F2 függőleges komponense tapadási súrlódási erő, ezért Ugyancsak feltétel az f1≧0, f2≧0 egyenlőtlenségek teljesülése. Ezért ha y-2r(1-tgα)<0, (1, 2, 3) megoldása | f1=h24r⋅cosαsinα[sin2α-(yh)2ϱvϱ]. | A 45∘<α<90∘,0<y<2r intervallumban f1≧0 mindig teljesül:
f2=f1⋅sinα⋅1cosβ,h=ysinα⋅ϱvϱ+f1⋅cosα+f1⋅sinα⋅tgβ,tg β=h-ysinα⋅ϱvϱ-f1⋅cosαf1⋅sinα.
-12≦ctg β≦12 és F2 miatt nem engedjük meg a 0∘-nál kisebb és 180∘-nál nagyobb szögeket. Így β-ra a megengedett intervallum 63,4∘-116,6∘. f1≧0 miatt ebből is ki kell zárni a 90∘-nál nagyobb szögeket.
ctgβ=f1sinαh-ysinα⋅ϱvϱ-f1cosα,ctgβ=12=f1sinαh-ysinα⋅ϱvϱ-f1cosα.
Az ebből meghatározott y(α)-nál nagyobb vízmagasság esetén a rúd megcsúszik és csak a sarokban áll meg:
h2-y2sinα⋅ϱvϱ=f1(sinα+cosα2),h2-y2sinα⋅ϱvϱ=h24rcosαsinα(sinα+cosα2)[sin2α-(yh)2ϱvϱ],y2⋅1h2⋅ϱvϱ⋅h24r⋅cosαsinα(sinα+cosα2)-y12sinαϱvϱ+h2--h24rcosαsinα(sinα+cosα2)sin2α=0.
Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei adják meg azt a h2 magasságot, amelynél egy adott α helyzet már nem stabil és a rúd a sarokba csúszik. Ennél kisebb kezdeti α esetén már a betöltés előtt a sarokba csúszik a rúd. Most vizsgáljuk az (1', 2', 3'); y>2r(1-tg α) által meghatározott egyensúlyi helyzeteket. | f1=h24rcos2α⋅[1-(y-2r(1-tgα)h⋅sinα)2ϱvϱ]. | A 0<α<45∘, 0<y<8, 2r(1-tgα)<y intervallumban ez a kifejezés pozitív, így f1≦0 mindig teljesül,
f2=f1⋅sinα⋅1cosβ-t (2')-be helyettesítveh=y-2r(1-tgα)sinα⋅ϱvϱ+f1⋅cosα+f1⋅sinα⋅tg β,tgβ=h-y-2r(1-tg α)sinα⋅ϱvϱ-f1cosαf1⋅sinα.
A megkötések β-ra :
| -12≦tgβ≦12,azaz-26,6∘≦β≦26,6∘ | és -90∘≦β≦90∘, mert a fal támaszerőt fejt ki. Mindez csak y≦2r(1-tgα) esetén igaz. A megcsúszás határesetében tgβ=12 vagy tg β=-12.
±12=h-y-2r(1-tgα)sinα⋅ϱvϱ-f1cosαf1sinα,f1(cosα±sinα2)=h-y-2r(1-tgα)sinα⋅ϱvϱ,h24rcos2α[1-(y-2r(1-tgα)h⋅sinα)2⋅ϱvϱ](cosα±sinα2)==h-y-2r(1-tgα)sinα⋅ϱvϱ,y2⋅h24rcos2α⋅ϱvϱsin2α⋅h2(cosα±sinα2)--y[1sinα⋅ϱvϱ+cos2α⋅ϱvϱ⋅(1-tgα)sin2α⋅(cosα±sinα2)]+h+2r(1-tgα)sinα⋅ϱvϱ--h24r⋅cos2α[1-ϱvϱ⋅4r2(1-tgα)2h2⋅sin2α]⋅(cosα±sinα2)=0.
Ennek a másodfokú egyenletnek a gyökei adják meg azokat a szögtartományokat, ahol lehetséges az egyensúly, feltéve, hogy vannak ilyen gyökök és a vízszint magasabban van a pálca végénél. Ha a vízszint alacsonyabban van, mint a pálca vége, akkor (1'', 2'', 3'')-ből
h=f1⋅cosα+f1sinα⋅tg β,tg β=h-f1⋅cosαf1⋅sinα=hh24r⋅cos2α⋅sinα-cosαsinα,tg β=4rhcos2α⋅sinα-cosαsinα,tg β=±1-ből ctg α(891cos3α-1)=±12.
Ennek numerikus megoldásából
+12:α1=29,91∘,-12:α2=28,89∘.
Azaz α1-nél nagyobb szög esetén a pálca a falnál lecsúszik, α2-nél kisebb szög esetén pedig kiborul. Vizsgáljuk az α=45∘-os helyeket! | sin45∘=cos45∘=12, tg 45∘=1. | Ezt a helyzetet nem tekinthetjük az 1. ábra határesetének, nem feltételezhetjük, hogy a rúd csak az alsó lappal érintkezik. Ha a 2. ábra határesetének tekintjük, azaz feltételezzük, hogy a rúd csak az oldalsó lappal érintkezik, a következőkre jutunk a tgα=±12-re adódó másodfokú egyenletből: y2⋅14r⋅ϱvϱ(12±122)++y[2ϱvϱ]+h-h24r⋅12⋅(12±122)=0.
(Sok tag esik ki az 1-tgα=0 miatt.)
y2⋅116⋅85(1±12)-y⋅2⋅85+2⋅18-18⋅1816⋅12(1±12)=0,y2⋅110⋅(1±12)-y⋅165+[18⋅2-818⋅(1±12)]=0.y1,2=165±(165)2-4⋅110⋅32+18⋅2-818⋅322⋅110⋅32<3,934,17,399.y3,4=165±(165)2-4⋅110⋅12+182-818⋅122⋅110⋅12<7,178,56,822.
Ez azt jelenti, hogy y=3,934 cm-nél még nem elég a függőleges fal támasza, visszacsúszik a pálca az alaplapra is, y=7,178 cm-nél pedig a 45∘-os helyzetéből a rúd felcsúszik a falon. (Feltéve, hogy addig külső kényszerrel ott tartottuk.) Tehát a pálca 45∘-os helyzetében 3,934 cm vízmagasságig nem lehet úgy, hogy csak az alaplapra vagy csak a falra támaszkodjon. Azaz bármely vízmagassághoz és 45∘-tól különböző helyzethez meg tudjuk mondani, hogy egyensúlyi helyzet vagy sem, s azt is ctgα ill. tgα alapján, hogy a súrlódási erő melyik irányban nem volt elegendő az egyensúly megtartásához, a rúd milyen irányban mozdult el. Ahhoz azonban, hogy valamit tudjunk mondani a pálca α=45∘-os viselkedéséről, a sarok alakjáról kellene többet tudnunk. Ez a feladat egy egész problémakör. Egészen másként kell hozzáfogni a megoldásához, ha a saroknak a 3. a) ábra vagy a 3. b) ábra szerinti alakja van. A rúd vastagságának elhanyagolásával is csínján kell bánni.
3.a ábra
3.b ábra Ezért ez a megoldás nem is lehetett más, csak útmutató. |