Kezdőlap


Feladat:	2087. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ribényi Ákos , Szakács Tamás
Füzet:	1986/november, 421 - 422. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Megosztás, Kepler III. törvénye, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Munkatétel, Határozott integrál, Elektron (mint elemi részecske), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: 2087. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A végtelen vezető sík és a $q$ ponttöltés között kialakuló erőtér olyan, mintha a sík másik oldalára, ugyanolyan távolságra egy $- q$ töltésű ún. "tükörtöltést''helyeznénk el. A töltésre így a síktól $x$ távolságra $F (x) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{{(2 x)}^{2}}$ nagyságú erő hat. Azt kell tehát meghatároznunk, hogy az így változó erőtérben az $m$ tömegű test mekkora idő alatt teszi meg a $d$ távolságot.
Fogalmazzuk át a problémát! Ugyanekkora a $q$ töltésre ható erő, ha tőle $x$ távolságra levő, $q' = q / 4$ töltésű rögzített ponttöltéshez közeledik. Tudjuk, hogy az ilyen erőtérben, amelyben a testre az origótól $r$ távolságra $1 / r^{2}$ -tel arányos centrális erő hat, a testek kúpszelet pályákon mozognak. Jelen esetben a test ellipszis pályán mozog, mert összes energiája negatív. A különböző ellipszis pályákra érvényesek a Kepler-törvények.
Az adott problémában a $q$ töltésű test pályája tekinthető egy olyan elfajult ellipszis pályának, amelynek kistengelye nulla hosszúságú. Tekintsük ezt az elfajult ellipszis pályát és egy $d$ sugarú körpályát. Erre a két ellipszis pályára is érvényes a 3. Kepler-törvény, amely szerint

\begin{matrix} \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}, \end{matrix}

(1)

ahol

T_{1}

, ill.

T_{2}

a megfelelő keringési idők,

r_{1}

és

r_{2}

az origótól számított középtávolságok. Jelöljük 1-es indexszel az elfajult ellipszispálya adatait, 2-es indexszel a körpálya adatait. Legyen

r_{2} = d

, ekkor a körpályán való keringési idő az alábbi egyenletből számolható:

\begin{matrix} \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{4 d^{2}} = m d {(\frac{2 π}{T_{2}})}^{2}, & (2) \\ mivel ω = \frac{2 π}{T_{2}} . \end{matrix}

Az elfajult ellipszispálya esetén

r_{1} = d / 2

, így (1) és (2) felhasználásával

\begin{matrix} T_{1} = 2 π \frac{\sqrt[]{2 π ε_{0} m d^{3}}}{q} . \end{matrix}

Az általunk keresett becsapódási idő

t = T_{1} / 2

. Numerikusan:

\begin{matrix} t = 5, 98 s . \end{matrix}

II. megoldás. Az előző megoldásban láttuk, hogy a test mozgása olyan, mintha két azonos tömegű és ellentétes töltésű test közeledne egymáshoz. A mozgás leírásához használjuk fel az energiamegmaradás törvényét! A két test relatív potenciális energiája, ha egymástól

2 x

távolságra vannak:

\begin{matrix} V (x) = - \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q^{2}}{2 x} . \end{matrix}

A két test relatív potenciális energiájának megváltozása egyenlő a szerzett mozgási energiával:

\begin{matrix} \frac{1}{4 π ε_{0}} (\frac{q^{2}}{2 x} - \frac{q^{2}}{2 d}) = 2 \cdot \frac{1}{2} m v^{2}, \end{matrix}

ahol kihasználtuk, hogy a két test mozgása szimmetrikus, így sebességük minden pillanatban megegyezik és kezdetben a távolságuk

2 d

. Mivel

v = d x / d t

, a fenti egyenlet egy differenciálegyenletet ad. A változók szétválasztása után az alábbi egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{8 π ε_{0} \cdot m}}{q} \int_{d}^{0} \frac{x \cdot d}{d - x} d x = \int_{0}^{t} d t = t . \end{matrix}

A bal oldali határozott integrál táblázatból kikereshető. A kérdéses becsapódási időre pedig az alábbi eredményt kapjuk:

\begin{matrix} t = π \frac{\sqrt[]{2 π ε_{0} m d^{3}}}{q} . \end{matrix}

Numerikusan:

t = 5, 98 s