Feladat: 2086. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Domokos Mátyás ,  Ribényi Ákos 
Füzet: 1986/november, 419 - 421. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Merev test síkmozgása, Nyomóerő, kötélerő, Forgási energia, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1985/december: 2086. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán azt a lecsúszás közbeni esetet tüntettük fel, amikor az l hosszúságú, m tömegű rúd α szöget zár be a függőlegessel, és mindkét falhoz (az A és B pontokban) támaszkodik. A páka mozgása a súlypont (S) transzlációs mozgásából (önmagával való párhuzamos eltolódásából) és a súlypont körüli forgómozgásból tevődik össze.

 
 

A súlypont sebesség-komponenseit (vx és vy) és a forgómozgás szögsebességét a mechanikai energia megmaradásának elvéből számíthatjuk ki:
mg(l/2)(1-cosα)=1/2m(vx2+vy2)+(1/2)θsω2(1)
ahol θs=1/12ml2, a rúd tehetetlenségi nyomatéka a súlypontján áthaladó és a rúdra merőleges tengelyre vonatkoztatva. A bal oldal a függőleges helyzethez viszonyított helyzeti energia csökkenést veszi figyelembe, míg a jobb oldal a mozgási és a forgási energia összegét tartalmazza. A rúd mindkét végpontja a falakon marad, ezért az A és B pontoknak a falakra merőleges sebességkomponensei eltűnnek:
a vízszintes falra
vyA=ω(l/2)⋅sinα,(2)

a függőleges falra
vxB=ω(l/2)⋅cosα.(3)
A rúd alsó végpontjának sebessége a súlypont vízszintes sebességének a kétszerese: vA=2⋅vx. Kifejezve ω-t (ω=3gl(1-cosα)) és vx-et a fenti egyenletekből
vA=3gl(1-cosα)⋅cosα.(4)
Vigyázni kell azonban arra, hogy ez a függvény csak addig írja le helyesen az A végpont sebességének szögfüggését, amíg a fenti feltételek teljesülnek. Most vizsgáljuk meg, hogyan alakul a mozgás, ha a pálca elválik a függőleges faltól. Ehhez számítsuk ki a függőleges fal FB nyomóerejét a rúd α szöggel jellemzett helyzetében. A súlypont mozgásegyenlete:
max=FB,(5)may=mg-FA,(6)


valamint a rúd forgómozgásának egyenlete:
β⋅θs=FA(l/2)sinα-FB(l/2)cosα,(7)
ahol β a pálca szöggyorsulása.
Geometriai feltételként felírhatjuk azt, hogy a végpontok gyorsulásainak a falakra merőleges összetevői eltűnnek. (Az ábra az áttekinthetőség miatt az A és a B pontokban csak a középponthoz viszonyított sebességeket, ill. gyorsulásokat tünteti fel.)
A vízszintes falra:
ayA=β(l/2)sinα+ω2(l/2)cosα,(8)

a függőleges falra:
axB=β(l/2)cosα-ω2(l/2)sinα.(9)
Az (5)‐(9) egyenletekből kifejezhető a szöggyorsulás ‐ β=3g/2l⋅sinα‐, valamint a falak által kifejtett nyomóerő:
FA=3/4mg(1/3-2cosα+3cos2α),(10)FB=3/4mgsinα(3cosα-2).(11)

FB előjelet vált cosα0=2/3, α0=41∘48' értéknél, vagyis a rúd felső vége elhagyja a falat. Ekkor az A pont sebessége maximális: vA=2/3gl, a súlypont vízszintes sebessége vx=1/3gl.
α>α0 esetén a súlypont végig megőrzi ezt a vízszintes irányú sebesség-komponenst, hiszen FB=0 miatt ebben az irányban nem gyorsul a rúd.
A súlypont függőleges sebessége (l/2)ωsinα, lévén hogy az A végpont végig rajta marad a vízszintes síkon. Az energia-egyenletet most az α0 és α>α0 esetekben írjuk fel:
mg(l/2)cosα0+1/2mv02+1/2θsω02=mg(l/2)cosα+(1/2)mv2+(1/2)θsω2,(12)
ahol v0=gl2 a súlypont sebessége, ω0=gl a pálca szögsebessége az α0 helyzetben, míg ugyanezek a mennyiségek egy tetszés szerinti α helyzetben
v=gl9+(ω12sinα)2,
ill. ω. A forgás szögsebessége (12)-ből kifejezhető:
ω=2⋅gl⋅(8-9cosα12-9cosα).(13)
Ebből az A végpont vízszintes sebessége
vA=13gl(1+38-9cosα12-9cos2αcosα),(14)
ha 0<cosα<2/3. Ez a sebesség α-nak cosα=2/3-tól kezdve monoton csökkenő függvénye. A sebesség a 2/3gl maximális értékről a felére, 1/3gl-re csökken, míg végül a rúd ráfekszik a vízszintes falra.
 

Megjegyzés. A beküldők túlnyomó többsége nem vette észre, hogy a rúd cosα=2/3-nál elválik a függőleges faltól. Akik csak az elválásig oldották meg a feladatot, 3 pontot kaptak.