Kezdőlap


Feladat:	2085. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Tamás
Füzet:	1986/november, 418 - 419. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kondenzátorok kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/december: 2085. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel a két kapcsolás eredő kapacítását! Kondenzátorok soros kapcsolása esetén az eredő kapacitás reciproka egyenlő az egyes kondenzátorok reciprok kapacitásának összegével, azaz

\begin{matrix} \frac{1}{C_{e}} = \sum_{i}^{} \frac{1}{C_{i}} . \end{matrix}

Párhuzamosan kötött kondenzátorok eredő kapacitását egyszerű összegzéssel kapjuk meg:

\begin{matrix} C_{e} = \sum_{i}^{} C_{i} . \end{matrix}

Ezek felhasználásával:

\begin{matrix} C_{A B} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} + \frac{C_{2} C_{3}}{C_{2} + C_{3}} + \frac{C_{3} C_{1}}{C_{3} + C_{1}}, \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} C_{A' B'} = \frac{C_{1}}{2} + \frac{C_{2}}{2} + \frac{C_{3}}{2} . \end{matrix}

(2)

A két érték összehasonlításához használjuk fel a harnomikus közép és a számtani közép között fenálló ismert egyenlőséget:

\begin{matrix} \frac{2 a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{2}, ha a > 0 és b > 0. \end{matrix}

Az egyenlőség jele akkor és csak akkor érvényes, ha

a = b

. Az egyenlőtlenséget átalakítva:

\begin{matrix} \frac{a b}{a + b} \leq \frac{a + b}{4} . \end{matrix}

(3)

Használjuk fel ezt (1) jobb oldalának mindhárom tagjára:

\begin{matrix} \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{4} stb . \end{matrix}

Ezért igaz a következő egyenlőtlenség:

\begin{matrix} C_{A B} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} + \frac{C_{2} C_{3}}{C_{2} + C_{3}} + \frac{C_{3} C_{1}}{C_{3} + C_{1}} \leq \frac{C_{1} + C_{2}}{4} + \frac{C_{2} + C_{3}}{4} + \frac{C_{3} + C_{1}}{4} = C_{A' B'} \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} C_{A B} \leq C_{A' B'}, \end{matrix}

vagyis az első kondenzátor telep kapacitása kisebb vagy egyenlő, mint a második rendszer kapacitása.
Az egyenlőség az előbbiek szerint a

\begin{matrix} C_{1} = C_{2} = C_{3} \end{matrix}

esetben áll fenn, ekkor a két kapcsolás megegyezik.