Kezdőlap


Feladat:	2075. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ternyik József
Füzet:	1986/szeptember, 278 - 280. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Izobár állapotváltozás (Gay-Lussac I. törvénye), Adiabatikus állapotváltozás, Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: 2075. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A termodinamika I. főtétele szerint a gáz belsőenergiájának megváltozása:

\begin{matrix} Δ U = δ Q - δ W, \end{matrix}

(1)

ahol

δ Q

a rendszerrel közölt (előjeles) hő és

δ W

a rendszer által végzett munka.
Körfolyamat esetén

Δ U = 0

, hiszen

U

állapotfüggvény. Ezért (1) alapján

\begin{matrix} 0 = δ Q - δ W = Q_{fel} - Q_{le} - δ W, \end{matrix}

ahol

Q_{fel}

és

Q_{le}

a felvett, illetve leadott hő.
A folyamat termodinamikai hatásfoka:

\begin{matrix} η = \frac{δ W}{Q_{fel}} = 1 - \frac{Q_{le}}{Q_{fel}} . \end{matrix}

(2)

Tehát elegendő a folyamat során a gáz által felvett, ill. leadott hőt kiszámítani. A

B C

, ill.

D A

állapotváltozások adiabatikusak, így ezeknél

δ Q = 0

. Az

m

tömegű és

c_{p}

állandó nyomáson mért fajhővel rendelkező gáz az

A B

folyamat során

\begin{matrix} Q_{fel} = m c_{p} (T_{B} - T_{A}) \end{matrix}

(3)

hőt vesz fel a környezetétől, ha

T_{A}

, ill.

T_{B}

A

és

B

állapotokban a gáz hőmérséklete. Hasonlóan, a

C D

folyamat során a környezetnek leadott hő

\begin{matrix} Q_{le} = m c_{p} (T_{C} - T_{D}) . \end{matrix}

(4)

A (3) és (4) összefüggést a (2)-be helyettesítve:

\begin{matrix} η = 1 - \frac{T_{C} - T_{D}}{T_{B} - T_{A}} . \end{matrix}

(5)

A gáz

p V = m R T

állapotegyenletéből

\begin{matrix} T_{C} - T_{D} = \frac{p_{2} (V_{C} - V_{D})}{m R}, ill. T_{B} - T_{A} = \frac{p_{1} (V_{B} - V_{A})}{m R}, \end{matrix}

hiszen az

A B

és

C D

állapotváltozás izobár. Itt

V_{x}

(x = A

B

C

D)

a gáz térfogatát jelöli a megfelelő állapotokban. A fenti egyenlőségekkel (5) alapján a hatásfok

\begin{matrix} η = 1 - \frac{p_{2} (V_{C} - V_{D})}{p_{1} (V_{B} - V_{A})} . \end{matrix}

(6)

Ismeretes, hogy ideális gáz adiabatikus állapotváltozásakor

\begin{matrix} p V^{κ} = állandó (κ = \frac{c_{p}}{c_{v}}), \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} p_{1} V_{B}^{κ} = p_{2} V_{C}^{κ}, p_{1} V_{A}^{κ} = p_{2} V_{D}^{κ} . \end{matrix}

Mindkét egyenletből

κ

-adik gyököt vonva, majd a két egyenletet kivonva egymásból:

\begin{matrix} \frac{V_{C} - V_{D}}{V_{B} - V_{A}} = {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{1 / κ}, \end{matrix}

amit a hatásfok (6) kifejezésébe írva:

\begin{matrix} η = 1 - \frac{p_{2}}{p_{1}} {(\frac{p_{1}}{p_{2}})}^{1 / κ} = 1 - {(\frac{p_{2}}{p_{1}})}^{(κ - 1) / κ} . \end{matrix}

Mivel

κ > 1

és

(p_{2} / p_{1}) < 1

, azért

0 < η < 1

. A hatásfok fenti kifejezéséből látható, hogy csak a

p_{1}

és

p_{2}

nyomásértékétől függ, független azonban attól, hogy az

A

és

B

, ill.

C

és

D

állapotot jelölő pontok a

p = p_{1}

, illetve

p = p_{2}

izobáron hol helyezkednek el.