Kezdőlap


Feladat:	2072. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Péter
Füzet:	1986/május, 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térerősség és erő, Görbevonalú mozgás lejtőn, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/november: 2072. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyó helyzetét az 1. ábrán látható $φ$ szög határozza meg. Számítsuk ki $φ$ függvényében a golyóra ható erők eredőjét!

1. ábra

A nehézségi erő lejtő mentén lefelé mutató komponense

m g

sin

α

. Az elektromos erő lejtő mentén felfelé mutató összetevője:

E Q cos α

. A 2.ábra mutatja a lejtő síkjában levő, érintő menti komponenseket.

2. ábra

A golyó akkor van egyensúlyban, ha a rá ható erők eredője zérus, azaz

\begin{matrix} (E Q cos α - m g sin α) sin φ = 0. \end{matrix}

Tehát vagy

sin φ = 0

, vagyis

φ_{1} = 0^{\circ}

és

φ_{2} = 180^{\circ}

; vagy

E Q cos α - m g sin α = 0

, azaz

α = α_{0} = arctg(\frac{E Q}{m g})

. Az utóbbi esetben

φ

tetszőleges lehet. Az adatokat behelyettesítve:

α_{0} = 45^{\circ}

.
Vizsgáljuk meg az egyensúlyi helyzetek stabilitását!
1.

φ = 0^{\circ}

esetén: ebből a helyzetből kis

Δ φ

szöggel kitérítve a golyót, a rá ható erők eredőjének érintő menti komponense

F (Δ φ) = (m g sin α - E Q cos α) sin (Δ φ)

. Ez az egyensúlyi helyzet akkor stabil, ha

F (Δ φ) > 0

, mert ekkor az eredő erő

m g sin α sin (Δ φ)

irányába mutat, azaz visszaviszi a golyót egyensúlyi helyzetébe. Tehát

m g sin α > E Q cos α

, azaz

α_{0} < α ≦ 90^{\circ}

esetén

φ = 0^{\circ}

-nál stabil egyensúlyi helyzet alakul ki.
2.

φ = 180^{\circ}

esetén: kitérítve a golyót kis

Δ φ

szöggel, a rá ható eredő erő érintő menti komponense szintén

F (Δ φ) = (m g sin α - E Q cos α) sin (Δ φ)

. Ez az egyensúlyi helyzet akkor stabil, ha

F (Δ φ) < 0

, hiszen ekkor az eredő erő

E Q cos α sin (Δ φ)

irányába mutat, ezért visszaviszi a golyót eredeti helyzetébe. Tehát

m g sin α < E Q cos α

, vagyis

0^{\circ} ≦ α < α_{0}

esetén

φ = 180^{\circ}

-nál stabil egyensúlyi helyzet van.
3.

α = α_{0}

esetén

φ

-től függetlenül a golyó egyensúlyban van, azaz közömbös az egyensúlyi helyzet.
Foglaljuk össze a kapott eredményeket! A golyó egyensúlyi helyzetben van a következő esetekben:
1.

α_{0} < α ≦ 90^{\circ}

esetén:

φ = 0^{\circ}

-nál stabil,

φ = 180^{\circ}

-nál instabil egyensúlyi helyzet van.
2.

α = α_{0}

esetén bármely

φ

-re közömbös egyensúlyi helyzet van.
3.

0^{\circ} ≦ α < α_{0}

esetén:

φ = 0^{\circ}

-nál instabil,

φ = 180^{\circ}

-nál stabil egyensúlyi helyzet van.