Kezdőlap


Feladat:	2064. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dányi Gábor , Nyilas István László
Füzet:	1986/március, 140 - 141. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Izochor állapotváltozás (Gay-Lussac II. törvénye), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: 2064. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A vizsgált körfolyamatoknál az 1‐2 átmenet izochor, a 2‐3 folyamat ‐ mivel a képe egyenes, így $T / V = p$ állandó ‐ izobár, a 3‐4 folyamat izochor, a 4‐1 folyamat pedig ismét izobár, az előzőnél kisebb állandó nyomáson. Nézzük meg az 1‐3 átmenetet! A parabola egyenlete $T = c \cdot V^{2}$ . Az ideális gáz állapotegyenletét felhasználva $p V = c N k V^{2}$ , azaz $p' V = N k c = állandó$ .

1. ábra

A fentiek alapján a körfolyamatokat a

p

‐

V

diagrammon az 1. ábrának megfelelően ábrázolhatjuk. Azonnal látszik, hogy mindkét körfolyamat egyenlő területeket fog közbe, tehát a hasznos munka mindkét esetben ugyanaz.

η = W_{h} / Q_{fel}

, ezért a hatásfok kiszámításához a felvett hő ismeretére van szükségünk.
Az 1‐2‐3‐1 körfolyamat esetén a gáz az 1‐2 és a 2‐3 átmenet során vesz fel hőt, a 3‐1 folyamat során pedig lead hőt. Legyen a felvett hő

Q_{1}

, a leadott hő

Q_{2}

nagyságú. A körfolyamat végén a gáz ugyanazon állapotba tért vissza, így a belső energiája nem változott. Az I. főtételből (

W_{h}

előjele negatív, hiszen a hasznos munkát a gáz végzi a környezetén):

\begin{matrix} Δ U = Q_{1} - Q_{2} - W_{h} = 0. \end{matrix}

(1)

Ezért

W_{h} = Q_{1} - Q_{2}

η_{1} = W_{h} / Q_{1} = (Q_{1} - Q_{2}) / Q_{1} = 1 - (Q_{2} / Q_{1})

.
Az 1‐3‐4‐1 körfolyamat esetén a felvett hő

Q_{2}

(1‐3 átmenet), mert a 3‐4 és a 4‐1 folyamat során hőleadás van. Így

\begin{matrix} η_{2} = \frac{W_{h}}{Q_{2}} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{Q_{2}} = \frac{Q_{1}}{Q_{2}} - 1. \end{matrix}

2 - 3

átmenetnél a gáz nagyobb átlagos nyomás ellen végez hasznos (negatív) munkát, mint az

1 - 3

átmenetnél, és mivel mindkét folyamat végállapota azonos belső energiát jelent, így az 1‐2‐3 átmenet során a gáznak több hőt kellett felvennie:

Q_{2} < Q_{1}

, Ezért

\begin{matrix} \frac{η_{1}}{η_{2}} = \frac{W_{h} / Q_{1}}{W_{h} / Q_{2}} = \frac{Q_{2}}{Q_{1}} - 1, \end{matrix}

tehát az

1 - 3 - 4 - 1

körfolyamat hatásfoka nagyobb. Ezenkívül észrevehetjük, hogy

\begin{matrix} η_{1} = 1 - (Q_{2} / Q_{1}) = 1 - (η_{1} / η_{2}), azaz η_{1} = \frac{η_{2}}{η_{1} + η_{2}} . \end{matrix}

Dányi Gábor (Aszód, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Sok megoldó a hatásfokot a hasznos munka és a befektetett munka hányadosaként számolta, és a befektetett munkát a megfelelő görbe alatti terület mértékével vette egyenlőnek. Termodinamikai folyamatoknál egyrészt a hatásfok a hasznos munka és a felvett hő (ami nem azonos a befektetett munkával) aránya, másrészt ez utóbbi mértéke nem egyenlő a görbe alatti terület mérőszámával.
Bebizonyítható, hogy

f

szabadsági fokú gáz esetén a felvett hőt a

p

‐

V

síkon a görbe alatti

T_{a}

terület

(f + 2) / 2

-szeresének és a görbe ,,melletti''

T_{m}

terület

(f / 2)

-szeresének összege adja (l. a 2. ábrát). A belső energiát csökkentő folyamatoknál ez a leadott hővel egyenlő.

2. ábra

Nyilas István László (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., IV. o. t.)

2. Tetszőleges folyamat esetén a gáz fajhője a folyamat során változik. Azon folyamatokat, amelyek során a fajhő állandó, politrop folyamatoknak nevezzük. Ezekre az állapotegyenleten kívül a

p V^{n} = áll.

összefüggés is érvényes, ahol

n

valamilyen valós szám. Speciálisan, ha

n = - 1

, azaz

p / V = áll.

, (ilyen a feladatban az

1 - 3

átmenet), akkor a fajhő állandó, ennek értékére némi számolás után

(c_{p} + c_{v}) / 2

adódik. Ezt ismerve közvetlenül kiszámolhatjuk a hőleadást, illetve hőfelvételt, és így a folyamat hatásfokát.