Kezdőlap


Feladat:	2059. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Derényi Imre
Füzet:	1986/március, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletes körmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: 2059. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel egy koordináta-rendszert, amelynek tengelyei egybeesnek a hajók pályájával! Az óceánjáró mozogjon az $x$ -tengelyen! Jelölje $φ_{t}$ a fénysugárnak az $x$ -tengellyel bezárt szögét, $s_{0} (t)$ az óceánjáró helyét, $s_{h} (t)$ a halászhajó helyét a $t$ időpillanatban.
A $t_{1}$ -hez tartozó helyzetet mutatja az 1. ábra.

1. ábra

Négy esetet különböztetünk meg aszerint, hogy:
I)

s_{0} (t_{3}) > 0

(az óceánjáró a lassabb, vagy távolodik az origótól),
II)

s_{0} (t_{3}) < 0

(az óceánjáró a gyorsabb),
a) a fényszóró pozitív irányban forog,
b) a fényszóró negatív irányban forog.

Mivel a fényszóró egyenletesen forog, a szögelfordulás arányos az idővel. Mindegyik esetben kiszámolhatjuk

φ_{t_{2}}

-t. A halászhajó egyenletes

v_{h} = \frac{d}{t_{3} - t_{1}} = 15 m/s

sebességgel mozog, tehát

\begin{matrix} s_{h} (t_{2}) = d - v_{h} (t_{2} - t_{1}) = 93 m. \end{matrix}

t_{2}

-höz tartozó helyzet így egyértelműen adott (egy háromszög két szögét (

90^{\circ}

és

φ_{t_{2}}

vagy

180^{\circ} - φ_{t_{2}}

) és egy oldalának hosszát

(s_{h} (t_{2}))

ismerjük. Így

\begin{matrix} s_{0} (t_{2}) = s_{h} (t_{2}) \cdot ctg φ_{t_{2}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} v_{0} = [s_{0} (t_{2}) - s_{0} (t_{1})] / (t_{2} - t_{1}) . \end{matrix}

A két hajó távolsága

t_{3}

-ban:

\begin{matrix} s = | s_{0} (t_{3}) | = | s_{0} (t_{1}) + v_{0} (t_{2} - t_{1}) | . \end{matrix}

2. ábra

Most vegyük sorra a négy esetet!
I. a) (Lásd a 2. ábrát):

\begin{matrix} \frac{45^{\circ} + (360^{\circ} - φ_{t_{2}})}{765^{\circ}} = \frac{5,8 s}{12 s}, \\ innen φ_{t_{2}} = 35, 25^{\circ} \\ v_{0} = - 8,35 m/s és s = 79,8 m . \end{matrix}

Negatív sebességet kaptunk, tehát az óceánjáró az origóhoz közeledik.

3. ábra

I. b) (Lásd a 3. ábrát):

\begin{matrix} \frac{(360^{\circ} - 45^{\circ}) + φ_{t_{2}}}{675^{\circ}} = \frac{5,8 s}{12 s}, \\ innen φ_{t_{2}} = 11, 25^{\circ} \end{matrix}

Azt kaptuk, hogy

s_{0} (t_{2}) > s_{0} (t_{1})

, ennek megfelelően a sebesség pozitív.

\begin{matrix} v_{0} = 49,58 m/s és s = 774,9 m. \end{matrix}

4. ábra

II. a) (Lásd a 4. ábrát):

\begin{matrix} \frac{45^{\circ} + (360^{\circ} - φ_{t_{2}})}{585^{\circ}} = \frac{5,8 s}{12 s}, \\ innen φ_{t_{2}} = 122, 25^{\circ} . \end{matrix}

φ_{t_{2}} > 90^{\circ}

, ez azt jelenti, hogy

t_{2}

-ben az óceánjáró már túlhaladt az origón. (A képleteket továbbra is használhatjuk.)

\begin{matrix} v_{0} = - 41,15 m/s és s = 313,8 m. \end{matrix}

5. ábra

II. b) (Lásd az 5. ábrát):

\begin{matrix} \frac{(360^{\circ} - 45^{\circ}) - φ_{t_{2}}}{855^{\circ}} = \frac{5,8 s}{12 s}, innen φ_{t_{3}} = 98,25^{\circ} . \end{matrix}

II. a)-hoz hasonlóan

\begin{matrix} v_{0} = - 33,36 m/s és s = 220,3 m. \end{matrix}

A matematikailag helyes megoldások közül csak I. a)-nak van fizikai realitása, ha arra gondolunk, milyen gyorsan képes haladni egy óceánjáró. Ezek szerint az óceánjáró

v = 8,35

m/s sebességgel közeledett a metszésponthoz és a

t_{3}

időpontban a két hajó

79,8

m-re volt egymástól.