Kezdőlap


Feladat:	2057. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Láng András
Füzet:	1986/március, 133 - 134. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Úszás, Légköri nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/október: 2057. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a vízben úszó dugót és a vizet összenyomhatatlannak, azaz sűrűségüket $ϱ_{d}$ -t és $ϱ_{v}$ -t állandónak! Összenyomás előtt a dugó egyensúlyban volt: súlya megegyezett a víztől és levegőtől származó felhajtóerők összegével.

Az ábra jelöléseivel (

ϱ

a levegő sűrűségét jelöli az összenyomás előtt)

\begin{matrix} ϱ_{d} \cdot h \cdot A \cdot g = ϱ_{v} \cdot x \cdot A \cdot g + ϱ \cdot (h - x) \cdot A \cdot g; \end{matrix}

\begin{matrix} x = h \cdot \frac{ϱ_{d} - ϱ}{ϱ_{v} - ϱ} . \end{matrix}

A dugó lenyomásával megnöveltük a levegő sűrűségét:

ϱ' > ϱ

. Az új egyensúly beállta után

\begin{matrix} x' = h \cdot \frac{ϱ_{d} - ϱ'}{ϱ_{v} - ϱ'} . \end{matrix}

A vízszinteshez képest a dugó helyzetének változása:

\begin{matrix} Δ x = x' - x = h \cdot [\frac{ϱ_{d} - ϱ'}{ϱ_{v} - ϱ'} - \frac{ϱ_{d} - ϱ}{ϱ_{v} - ϱ}] = \\ = - h \cdot \frac{(ϱ_{v} - ϱ_{d}) \cdot (ϱ' - ϱ)}{(ϱ_{v} - ϱ) \cdot (ϱ_{v} - ϱ')} . \end{matrix}

Mivel

ϱ_{v} > ϱ_{d} > ϱ' > ϱ

, ezért

Δ x

negatív ‐ a dugó lenyomása a vízszinteshez képest kis kiemelkedést okoz.

\begin{matrix} ϱ_{v} & ≫ ϱ ϱ_{v} ≫ ϱ', ezért \\ Δ x & \approx - h \cdot \frac{ϱ_{v} - ϱ_{d}}{ϱ_{v}^{2}} \cdot Δ ϱ . \end{matrix}

Ebből látható, hogy a dugó kiemelkedése a vízszinteshez képest nagyon kicsi. Ha a kád vízfelülete nem elég nagy, akkor a dugónak az edény aljához viszonyított abszolút kiemelkedése még kisebb lesz.

Megjegyzések. 1. Több megoldó figyelembe vette, hogy a parafa oldalán a lyukacsokba víz préselődhet, ami süllyedést okozna. Azonban ez is legalább annyira jelentéktelen hatás, mint az előző.
2. Nem árt tisztázni: a felhajtóerő a magassággal való lineáris nyomásváltozásból származik folyadék és gáz esetén egyaránt. Nagy hiba kétszer figyelembe venni ugyanazt a hatást. Állandó hőmérsékleten a gáz nyomásának lineáris változása következik a

p = p_{0} \cdot exp [- \frac{ϱ_{0} g x}{p_{0}}]

barometrikus magasságformulából, ha kis

x

esetén az

\begin{matrix} e^{- (ϱ_{0} g x) / p_{0}} \approx 1 - \frac{ϱ_{0} g x}{p_{0}} \end{matrix}

közelítést alkalmazzuk.