Kezdőlap


Feladat:	2031. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kintli Lajos , Porgányi Gergely
Füzet:	1986/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos RLC-kör, Soros RLC-kör, Transzformátorok (Váltó áramú áramkörök), Komplex impedancia, Hatásos teljesítmény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1985/április: 2031. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A párhuzamos kapcsolású részben a felső ág eredő impedanciája

\begin{matrix} Z_{1} = \sqrt[]{{(2 R)}^{2} + {(ω C)}^{- 2}}, \end{matrix}

(1)

az áram és feszültség közötti fázisszög pedig

\begin{matrix} cos φ_{1} = 2 R / Z_{1} és sin φ_{1} = \frac{1}{C ω Z_{1}} . \end{matrix}

(2)

1. ábra

Hasonlóképpen az alsó ágon

\begin{matrix} Z_{2} = \sqrt[]{{(L ω)}^{2} + R^{2}}, & (3) \\ cos φ_{2} = R / Z_{2}, sin φ_{2} = - L ω / Z_{1} . & (4) \end{matrix}

Készítsük el a feszültség és az áram vektordiagramját! (2. ábra) Az ábrán

U

és

I

jelöli az áramkörre eső feszültséget és az eredő áramot,

I_{1}

, ill.

I_{2}

pedig a felső, ill. alsó ág áramerősségét.

2. ábra

A párhuzamos kapcsolás miatt

\begin{matrix} Z_{1} I_{1} = Z_{2} I_{2} = U . \end{matrix}

(5)

A koszinusztétel az áramerősség-vektorokból alkotott háromszögre:

\begin{matrix} I^{2} = I_{1}^{2} + I_{2}^{2} - 2 I_{1} I_{2} cos (180^{\circ} - φ_{1} + φ_{2}) . \end{matrix}

(6)

Az (5) és (6) egyenletekből átrendezéssel kapjuk az alábbi összefüggést:

\begin{matrix} I^{2} = I_{1}^{2} [1 + {(\frac{Z_{1}}{Z_{2}})}^{2} + \frac{2 Z_{1}}{Z_{2}} cos (φ_{1} - φ_{2}) .] \end{matrix}

(7)

További átalakításokkal, az (1.‐4.) egyenleteket felhasználva

\begin{matrix} I_{1}^{2} = I^{2} \frac{L^{2} ω^{2} + R^{2}}{9 R^{2} + {[L ω - 1 / (C ω)]}^{2}}, & (8) \\ I_{2}^{2} = I^{2} = \frac{{(C ω)}^{- 2} + 4 R^{2}}{9 R^{2} + {[L ω - 1 / (C ω)]}^{2}} . & (9) \end{matrix}

Hő csak az ohmos ellenálláson fejlődik, ezért az áramkör teljesítménye:

\begin{matrix} P = I_{1}^{2} 2 R + I_{2}^{2} R . \end{matrix}

(10)

t

idő alatt felszabaduló hő

Q = P t

, feltételezve, hogy

t

elég nagy a periódusidőhöz képest.
A (8‐10) egyenletek felhasználásával

\begin{matrix} Q = t R I^{2} \frac{6 R^{2} + 2 L^{2} ω^{2} + {(C ω)}^{- 2}}{9 R^{2} + {[L ω - 1 / (C ω)]}^{2}} . \end{matrix}

Tehát ennyi hő szabadul fel

t

idő alatt a terhelésen, ha

I

effektív áramerősséget jelöl. Ha

I

maximális áramerősséget jelöl, akkor az eredményt 2-vel el kell osztani.

Porgányi Gergely (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Jelölje

Z

az eredő impedanciát! Komplex számokkal dolgozva

P = I \cdot

(Re

Z

), így feladatunk Re

Z

meghatározása. Az előző megoldás jelöléseit használva:

\begin{matrix} Z_{1} = 2 R + \frac{1}{j ω C}, Z_{2} = R + j ω L, Z = \frac{Z_{1} Z_{2}}{Z_{1} + Z_{2}} . \end{matrix}

Ezek alapján:

\begin{matrix} Z = \frac{2 R^{2} + \frac{L}{C} + j R (2 ω L - \frac{1}{ω C})}{3 R + j (L ω - \frac{1}{ω C})} . \end{matrix}

A reális rész kiszámításához a nevező konjugáltjával bővítve

\begin{matrix} Re Z = R \frac{6 R^{2} + 2 L^{2} ω^{2} + \frac{1}{ω^{2} C^{2}}}{9 R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}} \end{matrix}

adódik. Ezt felhasználva, a felszabaduló hő értéke

Q = P t = I^{2} (Re Z) t

\begin{matrix} Q = I^{2} R \frac{6 R^{2} + 2 L^{2} ω^{2} + \frac{1}{ω^{2} C^{2}}}{9 R^{2} + {(L ω - \frac{1}{ω C})}^{2}} t . \end{matrix}

Kintli Lajos(Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. Némi számolással könnyen látható, hogy végeredményünk megfelel fizikai várakozásunknak. Az

ω \to 0

esetben

Q \to 2 I^{2} R t

; ekkor a kondenzátor szakadásként viselkedik, így csak az

R

ellenálláson fejlődik hő.

ω \to \infty

esetén

Q \to 2 I^{2} R t

; ekkor a kondenzátor vezetőként viselkedik, az induktivitás pedig szakadásként.
2. A teljesítménygörbe kvalitatív menete a 3. ábrán látható, reális fizikai paraméterek mellett minimuma van a függvénynek.

3. ábra

3. A komplex számításmód leírása megtalálható Simonyi Károly: Villamosságtan c. könyvében, ill. Budó Ágoston: Kísérleti Fizika II. kötetében.