Kezdőlap


Feladat:	1981. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czifrus Szabolcs
Füzet:	1985/október, 333. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hidrosztatikai nyomás, Egyenletesen gyorsuló rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/december: 1981. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Legyen a lejtőn fekvő, nyugalomban levő üvegcső alsó, ill. felső légoszlopában levő nyomás $p_{1}$ , ill. $p_{2}$ ! A higanyoszlop egyensúlyi feltétele:

\begin{matrix} (p_{1} - p_{2}) A = ϱ g h A sin α, & (1) \end{matrix}

ahol

A

a cső keresztmetszete,

ϱ

a higany sűrűsége. Jelöljük a vízszintes helyzetben levő cső légoszlopainak hosszát

L

-lel,

L = \frac{l - h}{2}

és

x

legyen a higanyoszlop elmozdulása az eredeti helyzetéhez viszonyítva! A Boyle‐Mariotte-törvény alapján

\begin{matrix} p L = p_{1} (L - x) és p L = p_{2} (L + x) . & (2‐3) \end{matrix}

Az (1)‐(3) egyenletrendszer a

c = \frac{ϱ g h sin α}{p}

dimenziótlan szám bevezetésével

x

-ben másodfokú egyenletre vezet, amelynek a fizikailag értelmes megoldása:

\begin{matrix} x = L (\sqrt[]{1 + \frac{1}{c^{2}}} - \frac{1}{c}) . & (4) \end{matrix}

Így a két légoszlop hossza a feladat adataival:

\begin{matrix} L - x = 49,3 cm és L + x = 50,7 cm . \end{matrix}

b) A lejtőn csúszó üvegcső lejtő menti gyorsulása súrlódás esetén:

\begin{matrix} a = g (sin α - μ cos α) . \end{matrix}

Ha a kötél elvágása után az alsó és felső légoszlop nyomását most is

p_{1}

-gyel,

p_{2}

-vel jelöljük, akkor a higanyra Newton II. törvénye a következőképpen írható fel:

\begin{matrix} (p_{2} - p_{1}) A + ϱ g h A sin α = ϱ h A a . \end{matrix}

A gyorsulás értékét behelyettesítve ez az egyenlet az (1) egyenlethez hasonló alakra hozható:

\begin{matrix} (p_{1} - p_{2}) A = ϱ g h A μ cos α . \end{matrix}

Ha most is

x

jelöli a higany elmozdulását az eredeti vízszintes helyzethez képest, akkor a (2) és (3) egyenlet nem változik. Így az (1)‐(3) egyenlet az a) részben kapott másodfokú egyenletre vezet, csak ebben az esetben

c = \frac{ϱ g h μ cos α}{p} .

A (4) összefüggés alapján, a feladat adatait felhasználva a légoszlopok hossza:

\begin{matrix} L - x = 49,8 cm és L + x = 50,2 cm . \end{matrix}

Megjegyzés. Láthatjuk, hogy ha a lejtőn nincs súrlódás, akkor

c = 0

, így

x = 0

, azaz a higanyoszlop nem mozdul el. Több megoldó hibásan számolta az egyes légoszlopok nyomását. Hibásan feltették, hogy

p_{1} = p + ϱ g h sin α

és

p_{2} = p - ϱ g h sin α