A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Számítsuk ki egy tetszőleges hosszúságú, felezőpontjában alátámasztott karikadarab lengésidejét (1. ábra) !
1. ábra Egy fizikai inga lengésideje: ahol az alátámasztási pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, az inga tömege, a súlypont és az alátámasztási pont távolsága, pedig a nehézségi gyorsulás. -t a Steiner-tétel kétszeri alkalmazásával kaphatjuk meg. A kör középpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomaték ahol a kör sugara. A súlypontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték az alátámasztási pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték: Ezt behelyettesítve a lengésidő képletébe tehát csak a karika sugarától függ, az ív hosszától nem, így a két karikadarab lengésideje egyenlő. II. megoldás. Először számítsuk ki a következő test lengésidejét: Egy súlytalan drótból hajlított körívdarab két végére egyforma tömegpontokat helyezünk. Az ívet a közepén támasztjuk alá (2. ábra).
2. ábra Az alátámasztási pontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték A súlypont és az alátámasztási pont távolsága: Az inga lengésideje tehát
3. ábra nem függ a körív középponti szögétől, csak a sugarától, tehát sok, különböző középponti szögű ívet (3. ábra) lengethetünk úgy, hogy a különböző ingák kitérési szögei minden időpillanatban megegyezzenek. A mozgáson az sem változtat, ha ezeket az ingákat összeerősítjük. Sok ilyen ingából összeállíthatunk olyan homogén tömegeloszlású gyűrűdarabokat, amilyenek a feladat szövegében szerepelnek, tehát ezek lengésideje is , az ív középponti szögétől függetlenül. III. megoldás. Bontsuk fel a karikadarabot kis részekre, s ezeket helyettesítsük tömegközéppontokkal. A karikadarabnak a felezőpontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát közelíthetjük az egyes tömegpontok tehetetlenségi nyomatékának összegével: | | ahol az tömegpont -koordinátája (4. ábra); ugyanis a derékszögű háromszög befogója az átfogónak és az átfogóra eső vetületének mértani közepe. A körív szimmetriája miatt nyilvánvaló, hogy súlypontja az -tengelyre esik.
4. ábra A súlypont -koordinátája: Az inga tömege: Számítsuk ki a lengésidőt
A kapott érték független a karikadarab felbontásától, így a felosztás finomítása során adódó határérték is ugyanaz lesz, . Tehát a lengésidő egyenlő mindkét karikadarabra. Megjegyzés. Az eredmény mindenféle tömegeloszlású (pl. változó vastagságú) körívre igaz, ha az alátámasztási pontot a súlyponton átmenő sugár végpontjába helyezzük (vagyis ha a súlypont az -tengelyre esik).
|
|