Kezdőlap


Feladat:	1959. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Karsai Zsuzsa
Füzet:	1985/április, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/október: 1959. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tökéletesen rugalmas ütközés esetén teljesül az impulzus- (lendület-) és az energiamegmaradás törvénye. Ha összeütközik egy $m$ tömegű, $v$ sebességgel és egy $M$ tömegű, $V$ sebességgel mozgó test, akkor az ütközés utáni $u$ , ill. $U$ sebesség a következő két összefüggésből határozható meg:

\begin{matrix} m v + M V = m u + M U, & (1) \\ (1 / 2) m v^{2} + (1 / 2) M V^{2} = (1 / 2) m u^{2} + (1 / 2) M U^{2} . & (2) \end{matrix}

1. ábra

Jelöljük a feladatban szereplő testeket az 1. ábrán látható módon! Először az 1. és a 2. test ütközik össze. Az előbbi összefüggések e két testre a következők:

\begin{matrix} 4 kg \cdot v = 4 kg \cdot u + 4 kg \cdot U, \\ (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot v^{2} = (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot u^{2} + (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot U^{2} . \end{matrix}

Az egyenleteket rendezve

u = 0

U = v

, vagyis az 1. test megáll, a 2.

v

sebességgel halad tovább. A második test

t

idő múlva ütközik össze a 3. testtel. Erre az ütközésre felírva az (1), (2) egyenletet:

\begin{matrix} 4 kg \cdot v = 4 kg \cdot u + 8 kg \cdot U, \\ (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot v^{2} = (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot u^{2} + (1 / 2) \cdot 8 kg \cdot U^{2} . \end{matrix}

Az egyenletet rendezve

u = - (1 / 3) v

U = (2 / 3) v

, vagyis a 2. test visszafelé mozog előző sebességének harmadával, a 3. test pedig

(2 / 3) v

sebességgel halad.
Mivel a 2. test most visszafelé mozog, ismét ütközik az 1. testtel. Az ütközésig most 3

t

idő telik el, hiszen a 2. test ugyanazt az utat teszi meg, mint az első két ütközés közt, de a sebessége most az előbbi harmada. A 2. és 1. testre alkalmazva az (1), (2) egyenleteket

\begin{matrix} 4 kg \cdot (- v / 3) = 4 kg \cdot u + 4 kg \cdot U, \\ (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot {(- v / 3)}^{2} = (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot u^{2} + (1 / 2) \cdot 4 kg \cdot U^{2} . \end{matrix}

Az egyenletet rendezve

u = 0

U = - (1 / 3) v

. A harmadik ütközés után tehát az 1. test balra, a 3. test jobbra mozog, a 2. test áll, így több ütközés nem jön létre.
A testek sebességét és mozgási energiáját az ütközések előtt és után az alábbi táblázatban foglaltuk össze:

\begin{matrix} 1. ütközés & 1. és 2. ütközés & 2. és 3. ütközés \\ előtt & között & között & 3. ütközés után \\ sebesség & energia & sebesség & energia & sebesség & energia & sebesség & energia \\ 1. test & v & 2 v^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & - (1 / 3) v & (2 / 9) v^{2} \\ 2. test & 0 & 0 & v & 2 v^{2} & - (1 / 3) v & (2 / 9) v^{2} & 0 & 0 \\ 3. test & 0 & 0 & 0 & 0 & (2 / 3) v & (16, 9) v^{2} & (2 / 3) v & (16, 9) v^{2} \end{matrix}

A testek sebességét az idő függvényében a 2. ábrán láthatjuk.

2. ábra