Kezdőlap


Feladat:	1954. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Újvári Zsuzsanna
Füzet:	1985/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Vízhullámok, Egyéb felhajtóerő, Úszás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: 1954. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Amikor a kocka úszik a vízen, a gumiszál feszítetlen, ezért a kockára ható $G = m g = ϱ_{kocka} \cdot a^{3} \cdot g$ súlyerő és az Arkhimédész törvénynek megfelelő $F = ϱ_{víz} \cdot a^{2} \cdot (a / 4) \cdot g$ felhajtóerő eredője zérus:

\begin{matrix} F - G = ϱ_{víz} \cdot a^{2} \cdot (a / 4) \cdot g - ϱ_{kocka} \cdot a^{3} \cdot g = 0, \end{matrix}

(1)

ahol

ϱ

a sűrűség,

g

a gravitációs állandó (1. a) ábra)

1.a ábra

A fenti egyenletből

\begin{matrix} ϱ_{kocka} = ϱ_{víz} / 4 = 250 {kg/m}^{3}, \end{matrix}

és a kocka

m

tömege

\begin{matrix} m = ϱ_{kocka} \cdot a^{3} = 0, 25 kg . \end{matrix}

1.b ábra

Ha most kockánkat egyensúlyi helyzetéhez képest

x

mélységre lenyomjuk (1. b) ábra), akkor arra a megnövekedett

F_{1}

felhajtóerő és a változatlan

G

súlyerő hat, így a mozgásegyenlet (a vektorok irányát úgy jellemezzük, hogy a felfelé mutató vektorokat vesszük pozitívnak):

\begin{matrix} m a_{x} = F_{1} - G = ϱ_{víz} \cdot a^{2} \cdot x \cdot g + F - G = ϱ_{víz} a^{2} \cdot x \cdot g, \end{matrix}

(2)

hiszen

F - G = 0

az (1) egyenlet miatt.
A (2) összefüggés egy

\begin{matrix} T_{1} = \frac{2 π}{ω_{1}} = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{ϱ_{víz} \cdot a^{2} g}} = 2 π \sqrt[]{\frac{ϱ_{kocka} a^{3}}{ϱ_{víz} \cdot a^{2} \cdot g}} = 2 π \sqrt[]{\frac{ϱ_{kocka}}{ϱ_{víz}} \cdot \frac{a}{g}} = \frac{π}{10} s \end{matrix}

(3)

periódusidejű harmonikus rezgés mozgásegyenlete.

1.c ábra

Ez a meggondolás azonban nem érvényes akkor, amikor a kocka a

D

direkciós erejű gumiszál megfeszítése közben eredeti egyensúlyi helyzete fölé kerül (1. c) ábra). Ekkor a mozgásegyenlet

\begin{matrix} m a_{y} = F_{2} - G - D y = F - ϱ_{víz} \cdot a^{2} \cdot y \cdot g - G - D y = - (ϱ_{víz} a^{2} g + D) y, \end{matrix}

(4)

ahol ismét felhasználtuk, hogy

F - G = 0

.
A (4) mozgásegyenlet ismét egy harmonikus rezgőmozgást ír le

\begin{matrix} T_{2} = \frac{2 π}{ω_{2}} = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{ϱ_{víz} a^{2} g + D}} = \frac{π}{10 \sqrt[]{2}} s, \end{matrix}

(5)

periódusidővel.

2. ábra

A kocka mozgása tehát két különböző frekvenciájú, egymást félperiódusonként felváltva követő harmonikus rezgőmozgás (2. ábra), amelynek

T

periódusideje

\begin{matrix} T = \frac{T_{1}}{2} + \frac{T_{2}}{2} = \frac{π}{20} (1 + \frac{1}{\sqrt[]{2}}) \approx 0, 27 s . \end{matrix}

Megjegyzés. Számolásunk során végig feltételeztük, hogy a kocka állandóan érintkezik a vízzel. Mi ennek a feltétele? Ha a kocka maximális kitérése a rezgőmozgás során lefelé

A_{1}

, felfelé

A_{2}

, akkor az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor mozgási energiája

\begin{matrix} E_{mozg} = (1 / 2) m A_{1}^{2} ω_{1}^{2} = (1 / 2) m A_{2}^{2} ω_{2}^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} A_{1} = A_{2} \frac{ω_{2}}{ω_{1}} = A_{2} \frac{T_{1}}{T_{2}} = A_{2} \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(6)

A kocka akkor érintkezik mozgása során a vízzel, ha

A_{2}

nem nagyobb, mint

A_{2 max} = (1 / 4) a

, így kezdetben a kockát legfeljebb

A_{1 max} = A_{2 max} \cdot \sqrt[]{2} = (a / 4) \cdot \sqrt[]{2} = 0, 35 dm

-rel nyomhatjuk lejjebb.

Megjegyzés. A valóságban a kocka rezgése során a víz egy része is rezgésbe jön, és így a tényleges rezgő tömeg nagyobb, mint a kocka tömege. A valóságban tehát a periódusidő a fenti értéknél valamivel nagyobb lesz.