Kezdőlap


Feladat:	1952. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Cynolter Gábor , Szabó Zoltán
Füzet:	1985/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/szeptember: 1952. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rugókat feszítő $F_{1}$ és $F_{2}$ erő, valamint a $Δ l_{1}$ és $Δ l_{2}$ megnyúlás között érvényesek a következő összefüggések (1. ábra):

1. ábra

\begin{matrix} k_{1} Δ l_{1} = F_{1}, k_{2} Δ l_{2} = F_{2} . \end{matrix}

A rúd mindkét végére írjuk fel a forgatónyomatékok egyensúlyának egyenletét (2. ábra):

2. ábra

\begin{matrix} F x = F_{2} d, F (d - x) = F_{1} d . \end{matrix}

3. ábra

Jelöljük

Δ l

-lel az

F

erő támadáspontjánál a rúd elmozdulását! A 3. ábrán látható háromszögek hasonlósága miatt:

\begin{matrix} \frac{Δ l_{2} - Δ l_{1}}{Δ l - Δ l_{1}} = \frac{d}{x} . \end{matrix}

Az öt egyenletben

F_{1}

F_{2}

Δ l_{1}

Δ l_{2}

és

Δ l

az ismeretlen. Megoldva az egyenletrendszert:

\begin{matrix} Δ l = F \frac{\frac{1}{k_{1}} \cdot {(d - x)}^{2} + \frac{1}{k_{2}} \cdot x^{2}}{d^{2}} . \end{matrix}

Tehát az eredő rugóállandó:

\begin{matrix} k = d^{2} / (\frac{1}{k_{1}} \cdot {(d - x)}^{2} + \frac{1}{k_{2}} \cdot x^{2}) . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} \frac{1}{k} = \frac{k_{1} + k_{2}}{d^{2} k_{1} k_{2}} {(x - \frac{k_{2} d}{k_{1} + k_{2}})}^{2} + \frac{1}{k_{1} + k_{2}} . \end{matrix}

4. ábra

A 4. ábrán

\frac{1}{k}

-t

x

függvényében ábrázoltuk. A görbe parabola, amely az

x = 0

és az

x = d

egyeneseket az

\frac{1}{k_{1}}

, illetve az

\frac{1}{k_{2}}

pontban metszi, a metszéspontok esetében csak az egyik rugó nyúlik meg. A kapott függvény minimuma az

x = d \cdot \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}}

pontban van, ahol

{(\frac{1}{k})}_{min} = \frac{1}{k_{1} + k_{2}}

, vagyis itt a rugóállandók adódnak össze, így

\begin{matrix} k_{max} = k_{1} + k_{2} . \end{matrix}

Ez az a helyzet, amikor mindkét rugó megnyúlása egyforma.
A megoldás során feltettük, hogy az

F_{1}

F_{2}

és az

F

erők párhuzamosak, ami csak addig teljesül, amíg a rugók relatív megnyúlása kicsi.