Kezdőlap


Feladat:	1925. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Horváth Péter , Nagy Tibor
Füzet:	1984/november, 423 - 425. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Biot-Savart törvény, Kirchhoff-törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: 1925. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A mágneses indukció kiszámításához először meg kell határozni az élekben folyó áramokat. Az 1. ábrán feltüntettük az egyes áramokat és irányukat. Az áramforrást a kocka $A$ , $B$ csúcsaira kötöttük.

1. ábra

2. ábra

Szimmetriaokok miatt a

D

és

E

pontok, valamint a

C

és

F

pontok ekvipotenciálisak, így összeköthetők egy zérus ellenállású huzallal. A kapott ellenálláshálózatot a 2. ábra mutatja. (Az ellenállásokba írt számok az 1. ábra áramainak sorszámozásával vannak összhangban.) A kiterített hálózat segítségével a Kirchhoff-törvények alapján könnyen meghatározhatjuk az egyes élekben folyó áramokat, ezek a következők:

\begin{matrix} I_{1} = 2 A, \\ I_{2} = I_{3} = I_{5} = I_{6} = (5 / 7) A, \\ I_{4} = I_{7} = (4 / 7) A, \\ I_{8} = I_{9} = I_{10} = I_{11} = (1 / 7) A, \\ I_{12} = (2 / 7) A . \end{matrix}

Az áramok irányait az 1. ábra mutatja.
A kocka középpontjából minden él azonos látószögben látszik és minden él azonos távolságra van ettől a ponttól. A mágneses indukciót a Biot‐Savart-törvénnyel számítjuk ki. Egy él

Δ s

elemi szakaszában folyó áram által keltett mágneses indukció a

P

pontban a 3. ábra jelöléseivel:

\begin{matrix} | Δ B (P) | = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I \cdot Δ s}{r^{2}} sin φ, \end{matrix}

ahol

φ

az elemi szakasz és az

r

vektor által bezárt szög.

B

irányát a jobbkéz-szabállyal határozhatjuk meg.

3. ábra

A teljes él járulékát a mágneses térhez úgy számíthatjuk ki, hogy vektoriálisan összegezzük az elemi szakaszokban folyó áram által létrehozott mágneses indukciókat. Könnyen látható, hogy a kocka középpontjában az egy él által létrehozott mágneses indukció nagysága az élben folyó árammal arányos. Az arányossági tényező az élek látószögétől és a

P

ponttól való távolságtól függ, tehát valamennyi élre ugyanakkora.
A jobb áttekinthetőség kedvéért a

B_{1} ... B_{12}

indukcióvektorokat párosával ábrázoltuk a 4. ábrán.

I_{4} = I_{7}

és azonos irányúak, ezért

B_{4} + B_{7} = 0

I_{1}

és

I_{12}

áramok tere ellentétes irányú, így

| B_{1} + B_{12} | = (12 / 7) \cdot | B_{0} |

, ahol

| B_{0} |

1 A

árammal átjárt él által létrehozott mágneses indukció nagysága a

P

pontban.

4.a ábra

4.b ábra

4.c ábra

A 4.

b)

ábrán az

I_{2}

és

I_{9}

, illetve az

I_{3}

és

I_{8}

áramok által keltett tereket ábrázoltuk. A négy indukcióvektor eredőjét az alábbiak alapján számolhatjuk ki:

B_{2}

párhuzamos

B_{9}

-cel és

B_{3}

párhuzamos

B_{8}

-cal, mivel a megfelelő élek párhuzamosak. Másrészt az ábrából látható, hogy

(B_{2} + B_{9})

merőleges

(B_{3} + B_{8})

-ra, így

B' = B_{2} + B_{9} + B_{3} + B_{8}

nagysága

\begin{matrix} | B' | = \sqrt[]{{(| B_{2} | + | B_{9} |)}^{2} + {(| B_{3} | + | B_{8} |)}^{2}} = \frac{6 \sqrt[]{2}}{7} | B_{0} |, \end{matrix}

B'

x y

síkkal párhuzamos irányú.
Hasonlóan látható, hogy

B'' = B_{5} + B_{11} + B_{6} + B_{10}

nagysága

\begin{matrix} | B'' | = \\ = \sqrt[]{{(| B_{5} | + | B_{11} |)}^{2} + {(| B_{6} | + | B_{10} |)}^{2}} = \frac{6 \sqrt[]{2}}{7} | B_{0} |, \end{matrix}

iránya pedig az

y z

síkkal párhuzamos.

B'

merőleges

B''

-re és

B' + B''

iránya éppen

B_{1} + B_{12}

irányával ellentétes. Másrészt

| B' + B'' | = \sqrt[]{2} | B' | = (12 / 7 | B_{0} |

, ami éppen

| B_{1} + B_{12} |

- vel egyezik meg. Tehát

B_{1} + B_{12} + B' + B'' = 0

.
A teljes áramrendszer által létrehozott eredő mágneses indukció a kocka közepén zérus.

II. megoldás. Bebizonyítjuk, hogy a mágneses indukció értéke a kocka közepén zérus.
Bármely élben folyó áram indukcióvektora az élre merőleges,

P

ponton átmenő síkban fekszik, így nincs az éllel párhuzamos komponense (

P

a kocka középpontját jelöli). Mivel minden él ugyanakkora látószögben látszik a

P

-ből, a mágneses indukció arányos az élben folyó árammal és az arányossági tényező ugyanaz minden áramra. Egy indukcióvektornak a megfelelő tengelyekre vett komponensei a

P

pont kitüntetett helyzete miatt abszolút értékben azonos nagyságúak. Például az 1. ábrán feltüntetett koordináta-rendszerben az

I_{8}

által létrehozott

B_{8}

indukcióvektorra igaz a

\begin{matrix} | {(B_{8})}_{x} | = {(B_{8})}_{y} | = k I_{8} \end{matrix}

egyenlőség, ahol

k

minden élre ugyanaz az állandó.

Vizsgáljuk először az eredő mágneses indukció

z

komponensét! Ekkor a fentiek alapján elegendő az

x

és

y

iránnyal párhuzamos élekben folyó áramok terét tekinteni. Így csak az

A B F E

és

D C G H

négyzet éleiben folyó áramok adnak járulékot a

B_{2}

komponenshez a

P

pontban. Az

A B F E

hurokban folyó áramok terének

z

komponense:

k (I_{1} - I_{6} - I_{7} - I_{5})

. Ennek irányát legkönnyebben a jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg. Szorozzuk meg ezt a mennyiséget az élek

R

ellenállásával. Ekkor az előbbi kifejezés zárójelében az

(I_{1} R - I_{6} R - I_{7} R - I_{5} R)

kifejezést, a hurokban levő ellenállásokon eső feszültségek algebrai összegét kapjuk. Kirchhoff huroktörvénye alapján ez a kifejezés zérus. Hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy a

D C G H

hurokban folyó áramok terének

z

komponense is zérus a

P

pontban.
Ezzel beláttuk, hogy az összes áram eredő mágneses indukciójának

z

irányú komponense a kocka középpontjában zérus.
Az előbbi indokláshoz hasonlóan kapjuk, hogy az eredő mágneses indukció

x

, ill.

y

irányú komponense a kocka középpontjában zérus. Így az eredő mágneses tér a kocka középpontjában zérus.
A bizonyításhoz csak azt használtuk fel, hogy a

P

pontból azonos látószögben látjuk az összes élt és minden él azonos ellenállású. Az előbbi két feltétel akkor is teljesül, ha a kocka bármely másik két csúcsára kötjük az áramforrást, így a mágneses tér minden esetben zérus a kocka közepén.