Kezdőlap


Feladat:	1923. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Miró József , Urbán László
Füzet:	1984/október, 332 - 334. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Arkhimédész törvénye, Hidrosztatikai nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: 1923. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mi történik a henger felhúzása során? A hidrosztatikai nyomás csökken, így csökken a bezárt levegő nyomása is, ezáltal a hengerbe zárt levegő térfogata nő. Az adatoktól függően előfordulhat, hogy a dugattyú kiesik a hengerből. Ebben a pillanatban a dugattyú súlyából adódó nyomás megszűnik, így a víz benyomul a hengerbe. További emelés során a hengerbe zárt levegőre ható hidrosztatikai nyomás csökken, ezért a gáz térfogata nő. Bizonyos paraméterek esetén a gáz kitölti a henger teljes térfogatát, és közben a henger még mindig vízben van. További emelés során a felesleges levegő eltávozik a hengerből.
Mit érdemes figyelembe venni? Mindenképpen számolni kell a külső nyomás hatásával. Ezenkívül érdemes meggondolni, hogy a vas dugattyú tömege $7, 5 kg$ , aminek térfogata kb. $1 {dm}^{3}$ . Ezt összevetve a henger teljes $5 {cm}^{2} \cdot 30 cm = 150 {cm}^{3}$ térfogatával, jól látható, hogy durva közelítés, ha a vas térfogatát figyelmen kívül hagyjuk.
Hogyan lehet leírni a folyamatot? Az 1. ábrának megfelelően legyen $p_{k} = 10^{5} Pa$ a külső nyomás, $F$ a hengert tartó erő, $p$ a belső nyomás, $G$ a henger súlya, $G_{a}$ a dugattyú súlya, $A$ a henger keresztmetszete, $g = 10 {m/s}^{2}$ .

1. ábra

Azzal, hogy

g

-t

10 {m/s}^{2}

-nek tekintjük, 2%-os hibát követünk el. A henger akkor van egyensúlyban, ha a felső lapjára ható különböző nyomásokból eredő erők egyensúlyt tartanak a súly és a tartóerő eredőjével:

\begin{matrix} [p_{k} + (x - h) ϱ_{víz} g - p] A = F - G . \end{matrix}

(1)

Amíg a hengerből nem szökik el levegő, a gáz állapotának megváltozását izotermikusnak vehetjük:

\begin{matrix} p h A = p_{0} h_{0} A, \end{matrix}

(2)

ahol

p_{0}

és

h_{0}

a 65 m mélyen mérhető értékek.
Amíg a dugattyú a hengerben van, a rá ható erők egyensúlyt tartanak:

\begin{matrix} p A + G_{d} = [p_{k} + (x - l_{0}) ϱ_{víz} g] A . \end{matrix}

A dugattyú súlya:

G_{d} = l_{0} A ϱ_{vas} g

, ezért előző egyenletünkből

\begin{matrix} p = (x + l_{0}) ϱ_{víz} g + p_{k} - \frac{G_{d}}{A} = p_{k} + x ϱ_{víz} g - \frac{G_{d}}{A} (1 - \frac{ϱ_{víz}}{ϱ_{vas}}), \end{matrix}

(3)

azaz a belső nyomás egyenlő a külső nyomás és a hidrosztatikai nyomás összegének és a dugattyú súlyából és az arra ható felhajtóerőből származó nyomásnak a különbségével.
A könnyebb számolás kedvéért a vas sűrűségét vegyük

7, 5 {kg/dm}^{3}

-nek, ami nem okoz lényeges hibát, hisz

g = 10 {m/s}^{2}

is kb. ilyen pontosságú. (3)-ból az adatok behelyettesítésével ‐

x

-et m-ben mérve ‐:

\begin{matrix} p = (x - 3) {N/cm}^{2} . \end{matrix}

Kezdetben

p_{0} = 62 {N/cm}^{2}, h_{0} = 0, 15 m

, így a (2) egyenletbe helyettesítve a nyomás kifejezését,

h

-ra a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} h = \frac{9, 3}{x - 3} m . \end{matrix}

(4)

h = 0, 3 m

, a dugattyú leesik. A (4) egyenletből meghatározhatjuk, hogy ekkor a dugattyú

x = 34 m

mélyen van. Az (1), (3) összefüggések tehát a

65 m ≧ x > 34 m

intervallumban helyesek. Ezeket az összefüggéseket felhasználva

65 m ≧ x > 34 m

esetén a tartóerőre a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} F = G + G_{d} (1 - \frac{ϱ_{víz}}{ϱ_{vas}}) - h ϱ_{víz} g A, \end{matrix}

azaz a tartóerő a súlyerők és a felhajtóerők eredője. (4) segítségével az adatok behelyettesítése után:

\begin{matrix} F = (66, 2 - \frac{46, 5}{x - 3}) N . \end{matrix}

x = 34 m

mélyen a dugattyú leesik, a víz benyomul a hengerbe. Írjuk fel a Boyle‐Mariotte törvényt a kezdeti és a jelenlegi állapotra (2. ábra):

\begin{matrix} p_{0} h_{0} A = [p_{k} + (34 m - d + h) ϱ_{víz} g] h A . \end{matrix}

2. ábra

Innen

h = 0,21

m-t kapunk, így leeséskor

x = 33,79

m lesz. Ezután addig, amíg a levegő nem tölti ki teljesen a hengert, a levegő a Boyle‐Mariotte törvény szerint nyomódik össze:

\begin{matrix} p_{0} h_{0} A = (p_{k} + x ϱ_{víz} g) h A . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} h = \frac{p_{0} h_{0}}{p_{k} + x ϱ_{víz} g}, \end{matrix}

numerikusan

\begin{matrix} h = \frac{9, 3}{x + 10} m . \end{matrix}

(5)

A tartóerő ebben az esetben

\begin{matrix} F = G - h ϱ_{víz} g A = G - \frac{p_{0} h_{0}}{p_{k} + x ϱ_{víz} g} ϱ_{víz} g A, \end{matrix}

numerikusan

\begin{matrix} F = (1, 2 - \frac{46, 5}{x + 10}) N . \end{matrix}

A levegő szökni kezd, ha

h

túllépi a 0,3 m értéket. (5) alapján ez

x = 21 m

mélyen következik be. Tehát az előbbi összefüggés

F

-re a

33,79 m ≧ x ≧ 21 m

intervallumon teljesül.

x < 21

m esetén a tartóerő állandó, hiszen a felhajtóerő és a súly állandó:

\begin{matrix} F = G - l ϱ_{víz} g A = - 0, 3 N . \end{matrix}

Ez az összefüggés addig érvényes, míg a henger teteje eléri a felszínt, tehát a

21 m > x ≧ 0,3 m

intervallumban.

3. ábra

Miután a henger teteje eléri a felszínt, a tartóerő lineárisan növekszik. Így a

0,3 m > x ≧ 0 m

intervallumban

\begin{matrix} F = G - x ϱ_{víz} g A, \end{matrix}

numerikusan

\begin{matrix} F = (1, 2 - 5 x) N . \end{matrix}

Eredményeinket összefoglalva tehát

F = {\begin{matrix} (66, 2 - \frac{46, 5}{x - 3}) N, \\ ha 65 m ≧ x > 34 m, \\ (1, 2 - \frac{46, 5}{x + 10}) N, \\ ha 33, 79 m ≧ x ≧ 21 m, \\ - 0, 3, N \\ ha 21 m > x ≧ 0, 3 m, \\ (1, 2 - 5 x) N, \\ ha 0, 3 m > x ≧ 0. \end{matrix}

F

erő

x

-től való függését a 4. ábrán ábrázoltuk.

4. ábra