Kezdőlap


Feladat:	1922. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/október, 330 - 331. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes körmozgás, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Nyomóerő, kötélerő, Tapadó súrlódás, Erők forgatónyomatéka, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: 1922. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A jelenség kvalitatív elemzése. Mindennapos tapasztalatunk, hogy a kanyarodó kocsikra kétféle veszély leskelődik: egyrészt kicsúszhatnak, másrészt felborulhatnak. A kicsúszást inkább a gyorsan haladó személygépkocsiknál, míg a felborulást az ugyancsak gyorsan haladó tehergépkocsiknál tapasztaljuk. Megoldásunknak ezt a különbséget később tartalmaznia kell matematikai formában. Bármely körpályán haladó testre hatnia kell a mozgást biztosító centripetális erőnek. A centripetális erő adott körpálya esetén annál nagyobb, minél nagyobb sebességgel mozog a test. A centripetális erőt most a tapadási súrlódási erő biztosítja, így a centripetális erő legfeljebb akkora lehet, mint a tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke. Ezzel megvan a feltételünk arra, hogy az autó ne csússzák ki.
Billenés akkor következik be, ha a testre ható erők forgatónyomatéka nem zérus a tömegközéppontra vonatkoztatva. (Mivel a kocsi gyorsul, így a forgatónyomatékokat csak a tömegközéppontra írhatjuk fel.) Ezzel kvalitatíve megfogalmaztuk a billenés feltételét is. Más, a megoldást lényegesen befolyásoló hatás nincs.

2. Modellalkotás. A kétféle feltételhez kétféle modellt alkotunk.

A megcsúszás esetének vizsgálatakor a gépkocsit egy tömegpontnak tekinthetjük (1. ábra).

1. ábra

A megbillenés esetére ez a modell nem megfelelő. Ebben az esetben egy valódi kiterjedt testet kell vennünk. Modellünk a 2. ábrán látható: a teherautót egy téglatest alakú testnek tekintjük, amelynek tömegközéppontja a "kerekektől'' egyenlő távolságra, a földtől

h

magasságra van.

2. ábra

Ezzel a modellel sajnos elhanyagolunk egy, a feladat szempontjából lényeges tulajdonságot, azt, hogy a teherautó a kanyarban a rugózása miatt kifelé dől, így súlypontja közelebb kerül a külső kerekekhez. Ezt azonban adatok hiánya miatt nem tudjuk figyelembe venni a modellünkben. A valóságban ezért a teherautó valamivel kisebb sebességgel mehet a kanyarban megbillenés nélkül, mint amit a modellünkből számolunk. A billenés határhelyzetében a belső kerekek és a talaj között nincs kölcsönhatás, ezért csak a külső kerekeknél hatnak erők.

3. A modell matematikai megfogalmazása. Megcsúszás esetén a tapadási súrlódási erő legnagyobb értéke

\begin{matrix} F_{s max} = μ_{0} m g, \end{matrix}

ez az erő biztosítja a lehető legnagyobb centripetális erőt, amely

\begin{matrix} F_{c p} = m \cdot v_{{max}_{1}}^{2} / R . \end{matrix}

Így a legnagyobb sebességre, amely mellett a kocsi még nem csúszik meg, a következő feltételt kapjuk:

\begin{matrix} μ_{0} m g = m v_{{max}_{1}}^{2} / R . \end{matrix}

(1)

A megbillenés pillanatában a kocsira ható erők forgatónyomatéka a tömegközéppontra vonatkoztatva nulla:

\begin{matrix} F_{s} \cdot h - F_{ny} \cdot (d / 2) = 0, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} F_{s} = \frac{m \cdot v_{{max}_{2}}^{2}}{R}, F_{ny} = m g . \end{matrix}

Így a maximális sebességre, amely mellett a kocsi még nem billen meg, a következő feltételt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{m \cdot v_{{max}_{2}}}{R} \cdot h = m g \cdot \frac{d}{2} . \end{matrix}

(2)

4. A feladat matematikai megoldása. Az (1), (2) egyenletekből a sebességek értéke:

\begin{matrix} v_{{max}_{1}} = \sqrt[]{μ_{0} g R} = 24 m/s, v_{{max}_{2}} = \sqrt[]{\frac{g d R}{2 h}} = 22 m/s . \end{matrix}

A jelen esetben tehát a kocsi mielőtt megcsúszna, felbillen. Így a gépkocsi maximálisan 22 m/s, azaz kb. 80 km/h sebességgel haladhat.

5. Az eredmények diszkussziója. A megcsúszás esetében kapott maximális sebesség képletéből láthatjuk, hogy ez a sebesség annál nagyobb, minél nagyobb a pálya sugara, illetve a tapadási súrlódási együttható értéke. A megbillenés esetében a maximális sebesség annál nagyobb, minél nagyobb a pálya sugara, illetve minél nagyobb a

d / h

arány, azaz minél "laposabb'' a gépkocsi.
Ahhoz tehát, hogy a gépkocsi nagy sebességgel haladhasson a kanyarban, az szükséges, hogy a pálya sugara, a tapadási súrlódási együttható és a kocsira jellemző

d / h

arány nagy legyen.

Ez az eredmény a tapasztalattal is megegyezik.