Kezdőlap


Feladat:	1916. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Barabás Tibor
Füzet:	1984/november, 418 - 419. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos RLC-kör, Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: 1916. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az áramkörbe kapcsolt $U_{1} (t) = U_{1} \sqrt[]{2} sin ω t$ és $U_{2} (t) = U_{2} \sqrt[]{2} \cdot sin (ω t + φ)$ feszültségű generátorok helyettesíthetők egyetlen $U (t) = U \sqrt[]{2} \cdot sin (ω t + α)$ feszültségforrással úgy, hogy minden időpontban fennálljon az

\begin{matrix} U sin (ω t + α) = U_{1} sin ω t + U_{2} sin (ω t + φ) & (1) \end{matrix}

összefüggés. Az (1) egyenlet mindkét oldalát kifejtve kapjuk, hogy (1) ekvivalens a következővel:

\begin{matrix} U cos α \cdot sin ω t + U sin α \cdot cos ω t = (U_{1} + U_{2} cos φ) \cdot sin ω t + U_{2} sin φ \cdot cos ω t, \end{matrix}

ami akkor teljesül minden

t

értékre, ha

\begin{matrix} U cos α = U_{1} + U_{2} cos φ, U sin α = U_{2} sin φ . \end{matrix}

E két utóbbi egyenletből

\begin{matrix} U = \sqrt[]{U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + 2 U_{1} U_{2} cos φ}, & (2) \\ tg α = \frac{U_{2} sin φ}{U_{1} + U_{2} cos φ} . & (3) \end{matrix}

Tegyük fel, hogy a főáram erőssége az

U_{1}

feszültséggel van fázisban. Ekkor a feszültség- és áramviszonyokat az ábra mutatja, ahol

I_{C}

a kondenzátoron,

I_{R L}

pedig a tekercsen és az ellenálláson folyó áram.
Az áramerősség vektorok

U_{1}

-gyel párhuzamos, illetve merőleges komponenseire felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} I = I_{R L} cos (β - α) - I_{C} sin α, & (4) \\ I_{C} cos α = I_{R L} sin (β - α) . & (5) \end{matrix}

Használjuk fel, hogy

\begin{matrix} I_{C} = U C ω, I_{R L} = \frac{U}{\sqrt[]{L^{2} ω^{2} + R^{2}}}, tg β = \frac{L ω}{R} . & (6) \end{matrix}

A (3), (5) és (6) egyenletek segítségével kapjuk, hogy a kívánt esetben a kondenzátor kapacitása

\begin{matrix} C = \frac{L - \frac{R}{ω} \cdot \frac{U_{2} sin φ}{U_{1} + U_{2} cos φ}}{L^{2} ω^{2} + R^{2}} . \end{matrix}

A (2), (3), (4) és (6) egyenletek felhasználásával pedig kapjuk az áramerősséget:

\begin{matrix} I = \frac{R (U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + 2 U_{1} U_{2} cos φ)}{(L^{2} ω^{2} + R^{2}) (U_{1} + U_{2} cos φ)} : \end{matrix}

Ha a főáram erőssége az

U_{2}

feszültséggel van fázisban, akkor hasonló módon számolhatunk.