Kezdőlap


Feladat:	1912. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koleszár Kázmér
Füzet:	1984/november, 414 - 415. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev testek ütközése, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: 1912. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ugyanúgy számolva, mint a rugalmas ütközés esetében (l. KML 1984. 2. szám. 81. old.), a pálca középpontjának ütközés előtti $v_{1}$ és ütközés utáni $v_{2}$ sebességére a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} v_{1} - v_{2} = ω L / 6, \end{matrix}

ahol

ω

a pálca középpont körüli forgásának szögsebessége az ütközés után.
Most kell figyelembe venni, hogy az ütközés tökéletesen rugalmatlan, így az egyik botvég sebessége az ütközés után megegyezik a szeg sebességével, azaz nullával egyenlő. Így a pálca ütközés utáni szögsebessége és sebessége közt a következő összefüggés áll fenn:

\begin{matrix} ω L / 2 = v_{2} . \end{matrix}

A két egyenletből

\begin{matrix} v_{2} = (3 / 4) v_{1} = 3 m/s; ω = (3 / 2) (v_{1} / L) = 3,93 s^{- 1} . \end{matrix}

A leérkezésig megtett út

\begin{matrix} v_{2} \cdot t + (g / 2) \cdot t^{2} = h_{2} - (L / 2) sin α, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} α = ω t . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} h_{2} = v_{2} \cdot t + (g / 2) t^{2} + (L / 2) sin ω t . \end{matrix}

Az egyenletet csak numerikus módszerrel tudjuk megoldani. Jelölje

f (t)

az egyenlet jobb oldalát. Könnyen belátható, hogy a megadott számadatok esetében

f' (t) > 0

, ha

t > 0

, így a folytonos

f

függvény

t > 0

esetén szigorúan monoton nő, továbbá

f (0) = 0 < h_{2}

f (1) > h_{2}

. Így a szóban forgó egyenletnek pontosan egy pozitív gyöke van, amely pl. próbálgatással meghatározható:

\begin{matrix} t = 0,203 s . \end{matrix}

Megjegyzés. A megoldásban feltételeztük, hogy a rúd rögtön lecsúszik a szegről. Elég nagy súrlódás esetén ez nem feltétlenül igaz. Ezért azok, akik azt az esetet vizsgálták, amikor a rúd vége egy ideig a szeghez tapad (ez a megoldás differenciálegyenlethez vezet) helyes megközelítés esetén szintén kaptak pontot.