A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladat szövege alapján feltehetjük, hogy a madár a vadász feje fölött van, amikor a golyó eltalálja. Válasszunk egy koordináta-rendszert, amelynek tengelye felfelé mutat, és az pont a föld szintjében van. Ha a golyó sebessége a puskacső végénél , és a golyó idő alatt találja el a madarat, ami magasságban repül a vadász feje fölött, akkor (A vadász magasságát elhanyagoltuk -hoz képest.) Az adatok behelyettesítésével kapott másodfokú egyenlet megoldása . A golyó sebessége a találat pillanatában . (Ez -os sebességcsökkenést jelent). A golyó lendületének (impulzusának) függőleges komponense a találat előtti pillanatban ( a golyó tömege). Jelöljük a madár és a golyó közös sebességének függőleges komponensét a találat után -vel. Ha az ,,ütközés'' rövid ideig tart, akkor felírhatjuk a lendületmegmaradás törvényét a függőleges lendület komponensekre (lásd a 2. megjegyzést): ahol a madár tömege. Ezután azt kell meghatároznunk, hogy a magasságból induló rendszer (a madár és a golyó) mennyi idő alatt ér földet, tudva azt, hogy a rendszer sebességének függőleges irányú összetevője . Legyen ez az idő . Ekkor . A hajítás kezdetén , ezért a gyorsuló mozgás út‐idő összefüggése alapján | | (2) | A számadatokat és (1)-ből számolt értékét behelyettesítve -re egy másodfokú egyenletet kapunk, amelynek numerikus megoldása . A puska elsütésétől számítva idő múlva esik le a madár. Látjuk, hogy a madár vízszintes sebességére a számítás során nem volt szükség. Megjegyzések. 1. Pontosabb számolásnál figyelembe kell venni a vadász magasságát. Felfelé éppen ennyivel kevesebb utat tesz meg a golyó. 2. Vizsgáljuk az ütközési folyamatot. Tegyük fel, hogy a golyóra a fékeződés során a madár állandó erőt fejt ki. Írjuk fel Newton II. törvényét külön-külön a golyóra és a madárra. Az előző jelöléseket használva
ahol jelöli az ütközési időt. A két egyenletet összeadva, majd rendezve: Az összeadásnál az tag kiesik, hiszen belső erő. Ugyanez lenne az eredmény, ha az ütközés során az időben változna. Ez Newton III. törvényének a következménye. Látjuk, hogy szigorúan nem teljesül a lendületmegmaradás, mint azt az (1) összefüggésben feltételeztük, de könnyen megbecsülhetjük, hogy a tag (5)-ben elhanyagolható az első taghoz képest. Fontos megjegyezni, hogy ha van külső erő, ami a rendszer minden tagjára hat, akkor nem teljesül a lendületmegmaradás, ugyanis ekkor a rendszer nem tekinthető zártnak. (A zárt rendszernek éppen az a definíciója, hogy rá külső erő nem hat.) A feladatban a nehézségi erő mindvégig hat a madárra is és a golyóra is. Becsüljük meg a időt ! A golyó maximum akkora utat tesz meg, amennyi a madár átlagos mérete. A sebessége -ről -re csökken. A gyorsulása . Így és a megtett út . Az előző képletet felhasználva -t a mellett elhanyagolhatjuk a becslésben, és -t véve . Az (5) egyenletben a ,,korrekció'' , ami tényleg elhanyagolható az első taghoz képest, és így (1) nagyon jó közelítéssel teljesül. |