Kezdőlap


Feladat:	1901. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Berszán Ferenc , Széles Sándor
Füzet:	1984/május, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Impulzusmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/január: 1901. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege alapján feltehetjük, hogy a madár a vadász feje fölött van, amikor a golyó eltalálja. Válasszunk egy koordináta-rendszert, amelynek $y$ tengelye felfelé mutat, és az $y = 0$ pont a föld szintjében van. Ha a golyó sebessége a puskacső végénél $v_{0}$ , és a golyó $t_{1}$ idő alatt találja el a madarat, ami $h$ magasságban repül a vadász feje fölött, akkor

\begin{matrix} h = y (t_{1}) = v_{0} t_{1} - (g / 2) l_{1}^{2} . \end{matrix}

(A vadász magasságát elhanyagoltuk

h

-hoz képest.) Az adatok behelyettesítésével kapott másodfokú egyenlet megoldása

t_{1} = 0, 1 s

. A golyó sebessége a találat pillanatában

v_{1} = v_{0} - g t_{1} = 199 m/s

. (Ez

0, 5 %

-os sebességcsökkenést jelent).
A golyó lendületének (impulzusának) függőleges komponense a találat előtti pillanatban

m v_{1}

(

m

a golyó tömege). Jelöljük a madár és a golyó közös sebességének függőleges komponensét a találat után

v_{2}

-vel. Ha az ,,ütközés'' rövid ideig tart, akkor felírhatjuk a lendületmegmaradás törvényét a függőleges lendület komponensekre (lásd a 2. megjegyzést):

\begin{matrix} m v_{1} = (m + M) v_{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

M

a madár tömege.
Ezután azt kell meghatároznunk, hogy a

h

magasságból induló rendszer (a madár és a golyó) mennyi idő alatt ér földet, tudva azt, hogy a rendszer sebességének függőleges irányú összetevője

v_{2}

. Legyen ez az idő

t_{2}

. Ekkor

y (t_{2}) = 0

.
A hajítás kezdetén

y = h

, ezért a gyorsuló mozgás út‐idő összefüggése alapján

\begin{matrix} 0 = y (t_{2}) = h + v_{2} T_{2} - (g / 2) t_{2}^{2} . \end{matrix}

(2)

A számadatokat és

v_{2}

(1)-ből számolt értékét behelyettesítve

t_{2}

-re egy másodfokú egyenletet kapunk, amelynek numerikus megoldása

t_{2} = 2, 63 s

. A puska elsütésétől számítva

T = t_{1} + t_{2} = 2, 73 s

idő múlva esik le a madár. Látjuk, hogy a madár vízszintes sebességére a számítás során nem volt szükség.

Megjegyzések. 1. Pontosabb számolásnál figyelembe kell venni a vadász magasságát. Felfelé éppen ennyivel kevesebb utat tesz meg a golyó.
2. Vizsgáljuk az ütközési folyamatot. Tegyük fel, hogy a golyóra a fékeződés során a madár állandó

F

erőt fejt ki. Írjuk fel Newton II. törvényét külön-külön a golyóra és a madárra. Az előző jelöléseket használva

\begin{matrix} m v_{2} - m v_{1} = - F τ - m g τ & (3) \\ M v_{2} - 0 = F τ - M g τ, & (4) \end{matrix}

ahol

τ

jelöli az ütközési időt.
A két egyenletet összeadva, majd rendezve:

\begin{matrix} v_{2} = v_{1} \cdot \frac{m}{M + m} - g τ . \end{matrix}

(5)

Az összeadásnál az

F τ

tag kiesik, hiszen

F

belső erő. Ugyanez lenne az eredmény, ha

F

az ütközés során az időben változna. Ez Newton III. törvényének a következménye. Látjuk, hogy szigorúan nem teljesül a lendületmegmaradás, mint azt az (1) összefüggésben feltételeztük, de könnyen megbecsülhetjük, hogy a

- g τ

tag (5)-ben elhanyagolható az első taghoz képest. Fontos megjegyezni, hogy ha van külső erő, ami a rendszer minden tagjára hat, akkor nem teljesül a lendületmegmaradás, ugyanis ekkor a rendszer nem tekinthető zártnak. (A zárt rendszernek éppen az a definíciója, hogy rá külső erő nem hat.) A feladatban a

- m g

nehézségi erő mindvégig hat a madárra is és a golyóra is.
Becsüljük meg a

τ

időt ! A golyó maximum akkora utat tesz meg, amennyi a madár átlagos mérete. A sebessége

v_{1}

-ről

v_{2}

-re csökken. A gyorsulása

- a

. Így

v_{2} = v_{1} - a τ

és a megtett út

s = v_{1} τ + (- a / 2) τ^{2}

. Az előző képletet felhasználva

\begin{matrix} s = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} τ . \end{matrix}

v_{2}

-t a

v_{1}

mellett elhanyagolhatjuk a becslésben, és

s = 10 cm

-t véve

τ = 10^{- 3} s

. Az (5) egyenletben a

- g τ

,,korrekció''

10^{- 2} m/s

, ami tényleg elhanyagolható az első taghoz képest, és így (1) nagyon jó közelítéssel teljesül.