Feladat: 1894. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Péter 
Füzet: 1984/április, 186 - 187. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tömegpont egyensúlya, Egyéb kényszererő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/december: 1894. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A beküldők egy része úgy képzelte el a hurkot, hogy a test egy fonál két végéhez van erősítve. Mások "csúszó hurokra'' gondoltak, vagyis arra, hogy a test a fonál egyik végéhez van hozzákötve, a fonál másik végén egy kis hurok van, amely a fonálon csúszik (1. ábra).
A helyes megoldást mindkét esetben elfogadtuk.

 
 
1. ábra
 

Először az első esetben nézzük meg azt, hogy amikor a súly nem csúszik le a kúpról, milyen alakot vesz fel a fonál nyugalmi helyzetben! A súlyon átmenő alkotó mentén messük el a kúp palástját, és terítsük ki síkba (2. ábra)! A súlyt ekkor a síkon két pont ábrázolja: az S1 és az S2. Ezekre OS1=OS2. A nyugalmi helyzet a legkisebb helyzeti energiájú helyzet. A helyzeti energia akkor csökken, ha S1 és S2 távolodik O-tól, a legtávolabb pedig akkor van S1 és S2, amikor a fonál megfeszül, azaz a fonál a kiterített paláston egyenes.
 
 
2. ábra
 

Abban az esetben, amikor a kiterített kúppalást középponti szöge 180°-nál nagyobb, nem létezik minimális helyzeti energiájú állapot. Ugyanis mielőtt a fonál a palást mentén kiegyenesedhetne, átbukik a csúcson, és a súly lecsúszik a kúp oldalán.
 
 
3. ábra
 

Számítsuk ki, hogy a 180°-os középponti szög mekkora α félnyílásszögnek felel meg! A 3. ábra jelöléseivel
2Rπ=rπ,
sinα=R/r=1/2,α=30∘.
Tehát a hurok akkor nem csúszik le a kúpról, ha a kúp félnyílásszöge nem nagyobb 30°-nál.
Ezután nézzük meg a második esetben is, hogy milyen alakú a fonál az egyensúlyi helyzetben! A kiterített paláston most S jelöli a súly helyzetét, S1 és S2 a kis csúszó hurok helye (4. ábra).
 
 
4. ábra
 

Egyensúlyi helyzetben az S1 és S2 pontokat összekötő fonáldarab egyenes, hiszen ha nem lenne az, de a fonál meghúzásával kiegyenesítenénk, akkor a test lejjebb kerülne, vagyis előzőleg nem lenne egyensúlyi helyzetben.
A kiterített kúppalást milyen középponti szöge esetén nem lesz egyensúlyi helyzete a testnek? Akkor, ha az S1, ill. S2 pont eléri az O pontot, mialatt a test helyzeti energiája csökken. A 4. ábráról leolvasható, hogy ennek az a feltétele, hogy S1S'1<S1P legyen, hiszen SS1+S1P=S'S1+S1S'1, mivel SS1+S1S2=S'S'1+S'1S'2. Az S1S'1<S1P feltétel pedig akkor teljesül, ha S1OS2∢>60∘.
A 3. ábra segítségével ismét kiszámítjuk a kúp félnyílásszögét:
2Rπ=(1/3)rπ,
sinα=R/r=1/6,α=9∘36'.
Tehát a hurok akkor nem csúszik le a kúpról, ha a kúp félnyílásszöge nem nagyobb, mint 9∘36'.