Kezdőlap


Feladat:	1892. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh István , Bíborka Judit , Kohári Zsolt , Szirmai Ákos , Zagyva Natália
Füzet:	1984/május, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/december: 1892. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk fel a rúdra ható erőket (1. ábra) ! A $G$ súlyerő és az $N_{1}$ nyomóerő hatásvonala függőleges, ezért az $S$ súrlódási erő és az $N$ nyomóerő eredőjének is függőlegesnek kell lennie ahhoz, hogy a rúd egyensúlyban lehessen. Így az 1. ábra jelöléseivel $S / N = tg α$ . Másfelől tudjuk, hogy a tapadási súrlódásra $S \leq μ N$ teljesül. Ebből $μ \geq tg α$ .

1. ábra

Az 1. ábrán vázolt helyzet akkor valósulhat meg, ha

d \leq l

(vagyis a rúd a félhenger érintője), és

d \geq l / 2

(ellenkező esetben a rúd megbillen). Mivel

d = R / tg α

, e két feltétel egyenértékű az

\begin{matrix} \frac{R}{l} \leq tg α \leq \frac{2 R}{l} \end{matrix}

egyenlőtlenséggel. Az 1. ábrán látható helyzetben tehát akkor lehet egyensúlyban a deszka, ha

\begin{matrix} \frac{R}{l} \leq tg α \leq min (\frac{2 R}{l}, μ) . \end{matrix}

Nem nehéz belátni, hogy ekkor valóban létrejön az egyensúly.
Vizsgáljuk a

tg α < R / l

helyzetet (2. ábra) !

2. ábra

Az előzőek alapján

μ \geq tg β

esetén van egyensúly. Az

O A B

háromszögre írjuk fel a szinusztételt:

\begin{matrix} \frac{sin (90 - β)}{sin α} = \frac{l}{R} . \end{matrix}

Ebből trigonometrikus azonosságokat felhasználva

\begin{matrix} tg β = \sqrt[]{\frac{R^{2} - l^{2}}{l^{2}} + \frac{R^{2}}{l^{2} {tg}^{2} α}} . \end{matrix}

Így az egyensúly feltétele

tg α < R / l

esetén

\begin{matrix} μ \geq \sqrt[]{\frac{R^{2} - l^{2}}{l^{2}} + \frac{R^{2}}{l^{2} {tg}^{2} α}} . \end{matrix}

A lehetséges helyzeteket jól összefoglalhatjuk a 3. ábrán látható

(μ, tg α)

koordináta-rendszerben.

3. ábra