Kezdőlap


Feladat:	1887. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boda Péter , Fáth Gábor , Megyesi Gábor
Füzet:	1984/április, 183 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/november: 1887. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $q$ töltésre az ábrákon látható három erő hat: a $K$ nagyságú kötélerő, a töltések közti $F$ nagyságú Coulomb-erő és az $m g$ nagyságú súlyerő.

1. ábra

Az 1. ábrán az

α \leq

°

, a 2. ábrán a 90

°

< α \leq

180

°

eset látható. A kitűzés ábrája azt sugallja, hogy

α

legfeljebb 90

°

lehet (ezt a megoldások értékelésénél figyelembe is vettük), mi azonban foglalkozzunk az általános esettel! A töltések

d

távolsága az

A B O

egyenlő szárú háromszögből

d = 2 l sin (α / 2)

. Így az

F

Coulomb-erő:

\begin{matrix} F = k \frac{Q q}{4 l^{2} sin^{2} (α / 2)} . \end{matrix}

(1)

Írjuk fel az egyensúly feltételét úgy, hogy az erőket az

O B

egyenessel párhuzamos, illetve rá merőleges irányú összetevőkre bontjuk:

\begin{matrix} K = m g cos α + F sin (α / 2) . & (2) \\ F cos (α / 2) = m g sin α . & (3) \end{matrix}

(Az egyenletek

0 < α \leq 180^{\circ}

esetén érvényesek.) (1) és (3) alapján kapjuk, hogy egyensúly csak olyan

α

szög esetében lehetséges, amelyre

\begin{matrix} [k \frac{Q q}{4 l^{2} sin^{2} (α / 2)} - m g 2 sin (α / 2)] cos (α / 2) = 0; \end{matrix}

azaz vagy
a)

cos (α / 2) = 0

α / 2 = 90^{\circ}

α = 180^{\circ}

, (4)
vagy
b)

sin (α / 2) = \sqrt[3]{\frac{k Q q}{8 m g l^{2}}}

. (5)

A (2) egyenlet alapján az a) eset megvalósulásához szükséges, hogy

\begin{matrix} F - m g \geq 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} K = k \frac{Q q}{4 l^{2}} - m g \geq 0 \end{matrix}

(6)

legyen, hiszen

K

a kötélerő abszolút értékét jelöli.

2. ábra

A b) eset megvalósulásához egyrészt (5) alapján szükséges feltétel:

\begin{matrix} \frac{k Q q}{8 m g l^{2}} \leq 1. \end{matrix}

(7)

Másrészt (2) miatt szükséges feltétel:

\begin{matrix} m g cos α + F sin (α / 2) \geq 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} K = m g cos α + \frac{k Q q}{4 l^{2} sin (α / 2)} \geq 0. \end{matrix}

Ez a feltétel (5) alapján [ha (7) teljesül] így írható:

\begin{matrix} K = m g [cos α + 2 sin^{2} (α / 2)] \geq 0, \end{matrix}

cos α = 1 - 2 sin^{2} (α / 2)

miatt

\begin{matrix} K = m g, \end{matrix}

(8)

és így az egyenlőtlenség mindig teljesül.
Tekintve, hogy a (2), (3) egyenletek az egyensúly szükséges és elégséges feltételét adják meg, azért összefoglalva a következőket állapíthatjuk meg:

\begin{matrix} \frac{k Q q}{8 m g l^{2}} \geq 1 \end{matrix}

(9)

esetén csak

α = 180^{\circ}

mellett van egyensúly (l. a (6), (7) egyenlőtlenségeket!). Ekkor a kötélerő a (6) képletből számolható.

\begin{matrix} \frac{1}{2} \leq \frac{k Q q}{8 m g l^{2}} < 1 \end{matrix}

(10)

esetén egyensúly van

α = 180^{\circ}

mellett és az (5) feltételből adódó

α

szög mellett is, és

K

(6), illetve (8) alapján számolható.
Végül

\begin{matrix} \frac{k Q q}{8 m g l^{2}} < \frac{1}{2} \end{matrix}

(11)

esetén az (5) feltételnek eleget tevő

α

szög mellett van egyensúly, ekkor

K

értékét (8) adja.
Belátható, hogy a (10) feltétel teljesülése esetén az

α = 180^{\circ}

labilis egyensúlyi helyzetet jelent, az (5) feltételből adódó

α

szög pedig stabil egyensúlyi helyzetet jelent. A feladat számadataival csak az

α \approx 60^{\circ}

szög adódik az egyensúlyi helyzetre [ekkor (11) teljesül] és

K = m g = 9,81 \cdot 10^{- 3}