Kezdőlap


Feladat:	1873. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bihary Zsolt
Füzet:	1984/március, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: 1873. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tudjuk, hogy a fizikai inga lengésideje $T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{M g S}}$ , ahol $Θ$ a forgástengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték, $M$ az inga tömege, $S$ pedig a tömegközéppont és a forgástengely távolsága. A rendszer geometriájából adódóan $S = r$ minden felfüggesztésre (1. ábra).

1. ábra

A tehetetlenségi nyomaték definíció szerint

\begin{matrix} Θ = m (a^{2} + b^{2}) . \end{matrix}

Thalész és Pitagorasz tétele miatt

a^{2} + b^{2} = 4 r^{2}

. Így

Θ = 4 m r^{2}

. Az inga tömege

M = 2 m

, ezért a lengésidő

T = 2 π \sqrt[]{\frac{2 r}{g}}

vagyis független az alátámasztás helyétől. Mivel gondolatmenetünk alkalmazható a tömegpontoknál történő alátámasztásra is, a lengésidő ezekre a helyzetekre is ennyi.

Bihary Zsolt (Budapest, Árpád Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Vizsgáljuk meg, mennyivel nő meg a rendszer helyzeti energiája kicsiny

φ_{0}

szögű kitérítésnél. A tömegközéppont

C

-ből

C^{'}

-be kerül (2. ábra), így a helyzeti energia növekedése

\begin{matrix} Δ E = 2 m g r (1 - cos φ_{0}) . \end{matrix}

2. ábra

Kis szögekre

cos φ_{0} \approx 1 - φ_{0}^{2} / 2

, így

Δ E = m g r φ_{0}^{2}

.
A középső helyzetben ez teljes egészében forgási energiává alakul, vagyis

(1 / 2) Θ Ω_{0}^{2} = m g r φ_{0}^{2}

, ahol

Ω_{0}

az inga maximális szögsebessége. Ebből

\begin{matrix} \frac{Ω_{0}}{φ_{0}} = \sqrt[]{\frac{2 m g r}{Θ}} . \end{matrix}

(1)

Legyen a rezgés körfrekvenciája

ω

. Ekkor a szögkitérés az idő függvényében

φ = φ_{0} sin ω t

, a szögsebesség

Ω = φ_{0} ω cos ω t

.
Ebből

Ω_{0} = φ_{0} \cdot ω

, így

\frac{Ω_{0}}{φ_{0}} = ω

. Ezt (1)-gyel összevetve

ω = \sqrt[]{\frac{2 m g r}{Θ}}

, vagyis

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{Θ}{2 m g r}} . \end{matrix}

Θ

az előző megoldás szerint határozható meg.