Kezdőlap


Feladat:	1872. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bulyáki István , Végh Gábor
Füzet:	1984/március, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: 1872. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $l$ hosszúságú rúdon a bal szélétől $x$ távolságra helyezzük el a csapágyat! Ha a helyzeti energia nullszintjét a csapágy magasságában vesszük fel, akkor a vízszintes mozdulatlan súlyzó energiája zérus. A függőleges helyzetben a helyzeti energia

\begin{matrix} - x m g + (l - x) m g = (l - 2 x) m g, \end{matrix}

ahol

m = 3 kg

a rúd végén levő nehezékek tömege (a pálcát elhanyagolható tömegűnek tekintjük). A mozgási energia

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m {(v \frac{l - x}{x})}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} [1 + {(\frac{l - x}{x})}^{2}], \end{matrix}

ahol

v = 1, 6 m/s

az alsó,

v \frac{l - x}{x}

pedig a felső nehezék sebessége a függőleges helyzet elérésekor. Mivel az összenergia nem változik a mozgás során,

\begin{matrix} (l - 2 x) m g + \frac{1}{2} m v^{2} [1 + {(\frac{l - x}{x})}^{2}] = 0. \end{matrix}

Ebből

x

-re a következő harmadfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x^{3} - (\frac{v^{2}}{2 g} + \frac{l}{2}) x^{2} + \frac{v^{2}}{2 g} l x - \frac{v^{2}}{4 g} l^{2} = 0. \end{matrix}

Behelyettesítve az adatokat:

\begin{matrix} x^{3} - 0, 828 m \cdot x^{2} + 0, 1792 m^{2} \cdot x - 0, 12544 m^{3} = 0. \end{matrix}

Ezt a Cardano-képlettel, grafikusan, vagy valamilyen numerikus közelítő eljárással oldhatjuk meg.

x

-et a

[0, 7 m, 1, 4 m]

intervallumból kell választanunk. Az egyenlet megoldása:

x = 0, 8 m

, vagyis a rudat a bal oldali végétől

0, 8 m

-re kell csapágyazni.