Kezdőlap


Feladat:	1871. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Péter , Gáll Kornél , Jakovác Antal , Karsai Tamás , Werner Péter
Füzet:	1984/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: 1871. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először a rendszer egyensúlyi helyzetét keressük meg.
A rúdra a következő erők hatnak:

1. a kötél által kifejtett

m_{2} g

nagyságú erő, amely a rúddal

β

szöget zár be;
2. a rúd

m_{1} g

súlya, amely függőleges irányú;
3. a csukló által kifejtett

F

erő, amely a rúddal

δ

szöget zár be.

A B C

háromszög egyenlőszárú, ezért

\begin{matrix} β = 90^{\circ} - \frac{α}{2} . \end{matrix}

(1)

A rúd egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele:

1. a rúdra ható erők eredője nulla legyen;
2. a rúdra ható erők forgatónyomatékainak összege egy adott pontra ‐ pl. az

A

pontra ‐ véve nulla legyen.
Az 1. feltétel két egyenletet ad, egyet a rúdirányú, egyet az arra merőleges erők egyenlőségéből:

\begin{matrix} F cos δ = m_{1} g cos α + m_{2} g cos β, & (2) \\ F sin δ + m_{2} g sin β = m_{1} g sin α . & (3) \end{matrix}

A forgatónyomatékokra vonatkozó egyenlet:

\begin{matrix} m_{1} g (l / 2) sin α - m_{2} g l sin β = 0. \end{matrix}

(4)

A (4) egyenletet tovább alakíthatjuk a

\begin{matrix} sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}, sin β = sin (90^{\circ} - \frac{α}{2}) = cos \frac{α}{2} \end{matrix}

azonosságok felhasználásával:

\begin{matrix} m_{1} g l cos \frac{α}{2} (sin \frac{α}{2} - \frac{m_{2}}{m_{1}}) = 0. \end{matrix}

Mivel esetünkben

cos \frac{α}{2} > 0

, ezért szükségképpen

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \frac{m_{2}}{m_{1}} = 0, 25; α = 28, 95^{\circ}, β = 75, 53^{\circ} . \end{matrix}

Most határozzuk meg, milyen erővel hat a rúd a tengelyre!

α

és

β

értékének ismeretében (2)-ből és (3)-ból a következő egyenleteket nyerjük:

\begin{matrix} F cos δ = 93, 75 N, F sin δ = 24, 2 N . \end{matrix}

Az egyenletek négyzetösszegéből

1 = sin^{2} δ + cos^{2} δ

miatt

\begin{matrix} F = \sqrt[]{93, 75^{2} + 24, 2^{2}} N = 96, 82 N . \end{matrix}

Az egyenletek hányadosából

tgδ

-ra kapunk értéket. Az ennek megfelelő szög

δ = 14, 47^{\circ}

.
Mivel a kapott

α

β

F

δ

kielégítik az egyensúly szükséges és elégséges feltételét megadó (1) ‐(4) egyenleteket, azért valóban létrejön az egyensúly.
Vizsgáljuk meg, milyen ez az egyensúlyi helyzet!
Ha a rudat egyensúlyi helyzetéből lefelé mozdítjuk,

α

nő,

β

csökken, így a forgatónyomaték

\begin{matrix} m_{1} g (l / 2) sin α - m_{2} g l sin β > 0, \end{matrix}

tehát az

m_{1} g

súlyerő forgatónyomatéka nagyobb lesz a kötélerő forgatónyomatékánál, és a rúd leesik az asztallapra.
Ha a rudat felfelé mozdítjuk, akkor

α

csökken, így

β

növekszik, tehát

\begin{matrix} m_{1} g (l / 2) sin α - m_{2} g l sin β < 0, \end{matrix}

vagyis a kötélerő forgatónyomatéka nagyobb lesz a súlyerő forgatónyomatékánál, és a rúd a függőleges helyzetig emelkedik.
Tehát az

α = 28, 95^{\circ}

szögű egyensúly labilis.

Megjegyzés. Az elrendezésnek van két stabil egyensúlyi helyzete, amit nem tartalmaznak egyenleteink.
1.

α = 0^{\circ}

. Ekkor a csiga egyenlíti ki a lelógó súly nyomatékát.
2.

α = 90^{\circ}

. Az asztallapon fekvő rúd is egyensúlyban van.
Ez az a két egyensúlyi helyzet, amely felé a labilis egyensúlyi helyzetből kimozdított rúd mozog.