Kezdőlap


Feladat:	1869. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tasnádi Tamás
Füzet:	1984/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munka, Felhajtóerő, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/október: 1869. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1869. feladat

Tételezzük fel, hogy

l_{1} > l_{2} + l_{3}

, továbbá hogy

ϱ_{v} > ϱ_{t}

, ahol

ϱ_{v}

a víz,

ϱ_{t}

m

tömegű test sűrűsége. Foglalkozzunk először azzal az esettel, amikor

A_{2} / A_{1} \approx 0

, azaz a test víz alá nyomásakor a vízszintemelkedés elhanyagolható!

1.a ábra

Amíg a test egy része a vízszint felett van, azaz amíg

0 \leq x < l_{3}

(1.a ábra), a rá ható felhajtóerő és a súlyerő eredője

\begin{matrix} F = ϱ_{v} A_{2} g (l_{2} + x) - m g, \end{matrix}

ahol

x

a hasáb elmozdulása kezdeti helyzetéhez viszonyítva. (Ha a test kezdetben úszik, akkor az

x = 0

esetben ez az erő nulla.) Ezt az erőt a 2. ábrán ábrázoltuk. Az ábráról leolvasható, hogy az

x = l_{3}

helyzet eléréséhez

\begin{matrix} W_{1} = ϱ_{v} A_{2} g \frac{2 l_{2} + l_{3}}{2} l_{3} - m g l_{3} \end{matrix}

(1)

munkát kell végezni.
Amint a test teljes egészében víz alá kerül, a felhajtóerő állandó lesz mindaddig, míg a hasáb el nem éri az edény alját.

\begin{matrix} F = ϱ_{v} A_{2} g (l_{2} + l_{3}) - m g . \end{matrix}

Ehhez ‐ mint az az 1.b ábráról könnyen leolvasható ‐ még

(l_{1} - l_{2} - l_{3})

elmozdulásra van szükség, így a végzett munka:

\begin{matrix} W_{2} = ϱ_{v} A_{2} g (l_{2} + l_{3}) (l_{1} - l_{2} - l_{3}) - m g (l_{1} - l_{2} - l_{3}) . \end{matrix}

(2)

1.b ábra

A teljes munkát (

A_{2} / a_{1} \approx 0

esetén) (1) és (2) összege adja (a 2. ábrán a bevonalkázott rész területe).

2. ábra

\begin{matrix} W = W_{1} + W_{2} = ϱ_{v} A_{2} g [\frac{2 l_{2} + l_{3}}{2} l_{3} + (l_{2} + l_{3}) (l_{1} - l_{2} - l_{3})] - m g (l_{1} - l_{2}) = \\ = ϱ_{v} A_{2} g [(l_{2} + l_{3}) (l_{1} - l_{2}) - \frac{l_{3}^{2}}{2}] - m g (l_{1} - l_{2}) . & (3) \end{matrix}

A_{2} / A_{1} > 0

, akkor edényünkben a víz szintje megemelkedik

Δ l

-lel (1.b ábra). Ehhez nyilván munkát kell végeznünk, éspedig annyit, amennyi a

Δ l

vastagságú vízréteg helyzeti energiája az eredeti vízszinthez képest:

\begin{matrix} Δ W = Δ E_{h} = ϱ_{v} g A_{1} Δ l \cdot \frac{Δ l}{2} = ϱ_{v} A_{1} g \frac{{(Δ l)}^{2}}{2} . \end{matrix}

(4)

A térfogatnövekedést a hasáb kiálló részének víz alá nyomása eredményezte, ezért

Δ V = A_{1} \cdot Δ l = A_{2} l_{3}

, ahonnan

\begin{matrix} Δ l = \frac{A_{2}}{A_{1}} l_{3} . \end{matrix}

(5)

Így (4) alapján

\begin{matrix} Δ W = ϱ_{v} A_{2} g \frac{A_{2}}{A_{1}} \frac{l_{3}^{2}}{2} . \end{matrix}

(6)

A tényleges munkavégzés tehát az

A_{2} / A 1 \neq 0

esetben (3) és (6) összege:

\begin{matrix} W_{összes} = ϱ_{v} A_{2} g [(l_{2} + l_{3}) (l_{1} - l_{2}) - \frac{l_{3}^{2}}{2} (1 - \frac{A_{2}}{A_{1}})] - m g (l_{1} - l_{2}), \end{matrix}

ami tehát annál nagyobb, minél közelebb van az

A_{2} / A_{1}

viszony az

1

-hez.