Kezdőlap


Feladat:	1852. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Energiamegmaradás tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/május: 1852. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Függőleges síkú körmozgás akkor jöhet létre, ha a kötél végig feszes marad a mozgás során. Az $F$ kötélerő a pálya tetőpontján lesz a legkisebb, ezért itt írjuk fel a körmozgás dinamikai feltételét:

\begin{matrix} F + m g = m v^{2} / R, \end{matrix}

(1)

ahol

m

a test tömege,

v

a sebessége, amelyet a mechanikai energiamegmaradás törvényéből számíthatunk ki:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{v_{0}^{2} - 2 g R} . \end{matrix}

(2)

Ahhoz, hogy

F > 0

legyen, a

v_{0}

kezdősebességnek

\sqrt[]{3} \cdot \sqrt[]{g R}

-nél nagyobbnak kell lennie, ami a feladatban teljesül is. Ezért a megadott kezdősebesség esetén a kötél végig feszes marad, létrejön a függőleges síkú körmozgás.
A függőleges síkú, nem egyenletes körmozgás periódusidejét nehéz pontosan kiszámítani, de viszonylag egyszerű a vízszintes síkú mozgás körülfordulási idejével összevetni. Válasszunk ki egy-egy

Δ s

hosszúságú körívet a körpálya felső és alsó felében a kezdeti vízszintes kötélhelyzethez képest szimmetrikusan. Ha a körpálya vízszintes helyzetű, akkor a két körív befutásához szükséges idő:

2 \cdot Δ s / v_{0}

, hiszen a körmozgás egyenletes. Függőleges pályasík esetén ez az idő

(Δ s / v_{1} + Δ s / v_{2})

lesz, mert a sebességek már nem lesznek egyenlők. A közelítés annál jobb, minél kisebbre választjuk a köríveket. A

v_{1}

és a

v_{2}

sebességeket az energiamegmaradás tételéből számíthatjuk ki:

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{v_{0}^{2} - 2 g h}, v_{2} = \sqrt[]{v_{0}^{2} + 2 g h} . \end{matrix}

(3a‐b)

Azt állítjuk, hogy függőleges helyzetben hosszabb idő szükséges a két körív befutására, mint vízszintes helyzetben, azaz

\begin{matrix} \frac{Δ s}{v_{1}} + \frac{Δ s}{v_{2}} > 2 \cdot \frac{Δ s}{v_{0}} . \end{matrix}

(4)

Helyettesítsük be

v_{1}

és

v_{2}

(3a‐b) alatti kifejezéseit, és vezessük be az

x = 2 g h / v_{0}^{2} (\geq 0)

jelölést, ekkor (4) így írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + \frac{x}{1 - x}} + \sqrt[]{1 - \frac{x}{1 + x}} > 2. \end{matrix}

(5)

Az egyenlőtlenség irányának megváltozása nélkül mindkét oldalt négyzetre emelhetjük

(0 \leq x \leq 0, 5)

. Rendezés után az (5) egyenlőtlenséggel ekvivalens alábbi egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} \frac{2 x^{2}}{1 - x^{2}} + 2 \sqrt[]{(1 + \frac{x}{1 - x}) (1 - \frac{x}{1 + x})} > 0, \end{matrix}

(6)

aminek helyességéről könnyen meggyőződhetünk, hiszen a bal oldalon mindkét tag nemnegatív szám.
A körülfordulási idő tehát nőtt a vízszintes síkú, egyenletes körmozgáshoz viszonyítva.