Feladat: 1851. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Magyar Péter ,  Szász Károly ,  Szolnoki Attila 
Füzet: 1984/január, 35 - 37. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: 1851. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A két test mozgásegyenletei a következők:

MA=F-S1-N2,(1)mA=N2,(2)ma=F-mg-S2,(3)
ahol A a testek vízszintes irányú, a az m tömegű testfüggőleges irányú gyorsulása, S1 a talaj és az M tömegű test közt, S2 a két test közt ható súrlódási erő, N2 a testek közt ható nyomóerő.
 
 

Az M tömegű testre ható függőleges erők egyensúlya miatt
N1=Mg+F-S2,(4)
ahol N1 az M tömegű testre ható nyomóerő.
Az F, μ, M és m paraméterek értékétől függően a két test többféleképpen mozoghat:
I. Ha
F≦μ(Mg+F),azazF≦μMg/(1-μ),
akkor M áll, A=0. Továbbá N2=0, S2=0, és (3) miatt a=F/m-g.
II. Ha F>μMg/(1-μ), akkor a testek vízszintes irányban elmozdulnak, A>0.
 
 

Ebben az esetben háromféle mozgás lehetséges:
a) a>0;m felfelé mozog,
b) a=0;m és M összetapadva mozog,
c) a<0;m lefelé mozog.

a)S1=μN1,(5)S2=μN2,(6)F>mg+S2.(7)
Az (1)‐(6)-egyenletrendszerből
A=(1-μ)F-μMgM+m-μ2m,a=Fm-g-μA=M+m-μmm(M+m-μ2m)(F-mg(M+m)(1-μ2)M+m-μm).


(7)-ből azt kapjuk, hogy ekkor teljesülnie kell az
F>mg(M+m)(1-μ2)M+m-μm(8)
feltételnek.

b)S1=μN1,(9)S2=F-mg,(10)|S2|≦μN2.(11)

Az (1)‐(4), (9), (10) egyenletrendszerből
A=F/(M+m)-μg,a=0.
Ennek a mozgásnak a szükséges feltétele (11) alapján:
mg(M+m)(1+μ2)M+m+μm≤F≤mg(M+m)(1-μ2)M+m-μm.(12)


c)S1=μN1,(13)S2=-μN2,(14)F<mg-S2.(15)

A korábbiakhoz hasonlóan kapjuk az (1)‐(4), (13)‐(15) egyenletrendszerből a gyorsulásokat és a megvalósulás feltételeit:

A=(1-μ)F-μMgM+m+μ2m,a=Fm-g+μA=M+m+μmm(M+m+μ2m)(F-mg(M+m)(1+μ2)M+m+μm),F<mg(M+m)(1+μ2)M+m+μm.(16)



Mivel a (8), (12), (16) feltételek közül mindig pontosan egynek teljesülnie kell, és a II. esetben a), b) és c) kimerítik a rendszer mozgására vonatkozó összes lehetőséget, azért a (8), (12), (16) feltételek nemcsak szükségesek, hanem elégségesek is az a), b), illetve c) szerinti mozgás megvalósulásához.