Kezdőlap


Feladat:	1849. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/január, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler II. törvénye, Meteorok, Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Kepler III. törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: 1849. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $a$ , $b$ , $c$ betűkkel az ellipszis nagytengelyének, kistengelyének, illetve fókuszai távolságának felét. A Nap mindkét ellipszis fókuszában van, ezért az ütközési pont és a Nap távolsága két módon is kifejezhető az ellipszisek adataival: $a_{1} + c_{1} = a_{2} - c_{2}$ . Az ellipszisek hasonlóak, a hasonlósági arányt $n$ jelöli $(a_{2} = n a_{1}, c_{2} = n c_{1})$ . Ezt felhasználva az előző egyenletből $n$ -re a következő kifejezést kapjuk:

\begin{matrix} n = \frac{1 + (c_{1} / a_{1})}{1 - (c_{1} / a_{1})} = \frac{1 + ε}{1 - ε}, \end{matrix}

(1)

ahol

ε = c_{1} / a_{1} = c_{2} / a_{2}

az ellipszisek hasonlósága miatt.

Kepler II. törvénye értelmében a területi sebesség a pálya bármely pontjában állandó:

π a b / T'

, ahol

π a b

az ellipszis területe,

T

a keringési idő. Ha az ütközés előtti sebességeket

v_{1}

-gyel és

v_{2}

-vel, az ütközés utánit

v

-vel jelöljük, akkor a területi sebességek a két ellipszispályára és az ütközés utáni körpályára vonatkozóan így írhatók fel:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (a_{1} + c_{1}) v_{1} = \frac{π a_{1} b_{1}}{T_{1}}, & (2) \\ \frac{1}{2} (a_{2} - c_{2}) v_{2} = \frac{π a_{2} b_{2}}{T_{2}}, & (3) \\ \frac{1}{2} (a_{1} + c_{1}) v_{=} \frac{π {(a_{1} + c_{1})}^{2}}{T}, & (4) \end{matrix}

Innen a sebességek arányai:

\begin{matrix} \frac{v}{v_{1}} = \frac{{(a_{1} + c_{1})}^{2} T_{1}}{a_{1} b_{1} T}; \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{a_{2} b_{2} T_{1}}{a_{1} b_{1} T_{2}} . \end{matrix}

(5)

Kepler III. törvénye szerint a keringési idők négyzetének aránya megegyezik a félnagytengelyek köbének arányával, így

\begin{matrix} \frac{T_{1}}{T} = \sqrt[]{\frac{a_{1}^{3}}{{(a_{1} + c_{1})}^{3}}}; \frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt[]{\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}} . \end{matrix}

Ezt és az ellipszisre vonatkozó

b_{1} = \sqrt[]{a_{1}^{2} - c_{1}^{2}}

összefüggést alkalmazva

\begin{matrix} \frac{v}{v_{1}} = \frac{{(a_{1} + c_{1})}^{2}}{a_{1} b_{1}} \sqrt[]{\frac{a_{1}^{3}}{{(a_{1} + c_{1})}^{3}}} = \sqrt[]{\frac{1}{1 - (c_{1} / a_{1})}} = \sqrt[]{\frac{1}{1 - ε}} = \sqrt[]{\frac{n + 1}{2}}; \\ \frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{a_{2} b_{2}}{a_{1} b_{1}} \sqrt[]{\frac{a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}} = \sqrt[]{n} . & (6) \end{matrix}

Az ütközés utáni közös sebesség az impulzusmegmaradás tételéből határozható meg:

\begin{matrix} v = \frac{m_{1} v_{1} + k m_{1} v_{2}}{m_{1} + k m_{1}} . \end{matrix}

(7)

Beírva a sebességek arányaira korábban kapott kifejezéseket ((6) egyenletek), és a

k

tömegarányt kifejezve az alábbi összefüggés adódik:

\begin{matrix} k = \frac{1 - \sqrt[]{(n + 1) / 2}}{\sqrt[]{(n + 1) / 2} - \sqrt[]{n}} . \end{matrix}

(8)

A számadatokkal

k = 1, 62