Kezdőlap


Feladat:	1847. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Gábor
Füzet:	1983/december, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Lencserendszerek, Gömbtükör, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/április: 1847. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jobb oldali lencsébe érkező fénysugár először áthalad az $f$ fókusztávolságú lencsén; visszaverődik az $r / 2$ fókusztávolságú tükrön, majd ismét áthalad az $f$ fókusztávolságú lencsén. A foncsorozott felületű lencse helyettesíthető egy $f'$ fókusztávolságú tükörrel, amelyre

\begin{matrix} 1 / f' = 1 / f + 2 / r + 1 / f = 2 (1 / f + 1 / r), \end{matrix}

(1)

ahol a szimpla lencse fókusztávolsága

\begin{matrix} f = \frac{r}{2 (n - 1)}, \end{matrix}

(2)

n

a lencse anyagának törésmutatója.
Eltekintve attól a triviális esettől, amikor csak a bal oldali lencse vesz részt a valódi kép létrehozásában, két esetet különböztethetünk meg:

a) k < d,

a bal oldali lencse csak egyszer képez le;

b) k > d,

a fénysugarak kétszer haladnak át a bal oldali lencsén a kép kialakításáig.

a)

A leképezési törvény szerint

\begin{matrix} 1 / f' = 1 / k + 1 / (d - f) . \end{matrix}

(3)

Figyelembe véve az (1)-et és bevezetve a

c = 1 / k - 2 / r

jelölést, kapjuk:

\begin{matrix} c f^{2} - (3 + c d) f + 2 d = 0, ebből & (4) \\ f_{1,2} = \frac{3 + c d \pm \sqrt[]{{(3 + c d)}^{2} - 8 c d}}{2 c} . \end{matrix}

A diszkrimináns mindig pozitív, hiszen

\begin{matrix} {(3 + c d)}^{2} - 8 c d = {(1 - c d)}^{2} + 8. \end{matrix}

c > 0,

akkor

f

-re két pozitív megoldás van, ha

c < 0,

akkor csak egy. Ha

c = 0,

vagyis

2 k = r,

akkor a (4) egyenlet elsőfokúra redukálódik, amelynek megoldása

f = (2 / 3) d .

A törésmutatót

f

ismeretében (2) segítségével kifejezhetjük:

\begin{matrix} n = r / 2 f + 1. \end{matrix}

b)

Ebben az esetben a kép az előzőhöz képest még egy további leképezés után alakul ki. Az alábbi egenleteket kapjuk:

\begin{matrix} 1 / f' = 1 / k' + 1 / (d - f), & (5) \\ 1 / f = 1 / (d - k') + 1 / (k - d) . & (6) \end{matrix}

Az (5), (6) egyenletek az (1)-gyel összevetve harmadfokú egyenletre vezetnek, amely ismert adatok mellett számológéppel megoldható.

Tóth Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján