A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először vizsgáljuk az esetet! Tegyük fel, hogy a vízrészecskék kezdősebességgel hagyják el a tömlőt! A belocsolható maximális területet a ferde hajítás törvényei szabják meg. Különböző szög alatt locsolva, a belocsolható terület alakját a legmesszebb repülő vízrészecskék határozzák meg. Ennek kiszámolásához vegyünk fel egy koordinátarendszert a lejtőn (1. ábra)!
1. ábra Legyen a locsolás helye, a lejtő esésvonala, ami szöget zár be a vízszintessel! Messük el a lejtőt az ponton átmenő valamely függőleges síkkal Ennek a lejtő síkjával alkotott metszésvonala legyen ! Ez az egyenessel zárjon be szöget! Vizsgáljuk az pontokon átmenő síkban történő ferde hajítást! Számoljuk ki először ebben a síkban a "lejtő szögét'', vagyis -t! | | E három egyenletből Ezek után számoljuk ki azt, hogy egy szögű lejtőn milyen messzire lehet elhajítani egy testet kezdősebességgel! A 2. ábra jelöléseivel írjuk fel a ferdehajítás mozgásegyenleteit!
A lejtő egyenlete ( jelöli a hajítás függőlegessel bezárt szögét.)
2. ábra A hajítás távolsága. A (2), (3) és (4) egyenletek segítségével, trigonometrikus átalakítások után -re a következő kifejezést kapjuk: | |
akkor maximális, ha vagy attól függően, hogy pozitív vagy negatív. Az egyik a felfelé, a másik a lefelé hajítás legtávolabbi pontját adja a hajlásszögű lejtőn.
(1) segítségével Ha akkor elég a negatív előjelű tagot megtartani. Tehát Ez pedig egy ellipszis paraméteres egyenlete. (L. pl. Bronstejn-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv!) Vizsgáljuk ezután az esetet! Az előző pont érvelései alkalmazhatók annak figyelembevételével, hogy a cső vége az ponttól távolságra kerül, hiszen a feladat megfogalmazása szerint a cső végét nem emeljük fel a földről. Ez annyiban módosítja a levezetést, hogy (6) helyett Ez a síkbeli polárkoordinátákban megadott egyenlet már nem ellipszis egyenlete, hanem egy negyedfokú görbéé.
3. ábra Ha a m/s, numerikus értékekkel számolunk, és m esetén a belocsolható maximális területet a 3. ábra szemlélteti. A locsolócső a pontban van rögzítve.
Szolnoki Attila (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., II. o. t.) |