Kezdőlap


Feladat:	1832. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fáth Gábor , Horváth Péter , Magyar Pál , Szapudi István
Füzet:	1983/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hőkapacitás, Állandó térfogaton mért fajhő, Állandó nyomáson mért fajhő, Termikus átlagsebesség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: 1832. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metán molekula tetraéder alakú, így 3 transzlációs és 3 forgási szabadsági fokkal rendelkezik.

a)

Az ekvipartíció tétel szerint a transzlációra

\begin{matrix} (3 / 2) k T = (1 / 2) m (v^{2}), \end{matrix}

ahol

(v^{2})

a molekulák sebességnégyzetének átlaga. A molekulák átlagsebessége jellemezhető

\sqrt[]{(v^{2})}

-tel:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{3 K T}{m}}, \end{matrix}

ahol

m

egy metánmolekula tömege, ami 16-szorosa egy hidrogénatom tömegének, ami

1, 67 \cdot 10^{- 27}

kg. Így

m = 16 \cdot 1, 67 \cdot 10^{- 27}

= 2, 667 \cdot 10^{- 26}

kg. Behelyettesítve a megfelelő értékeket:

v = 881

m/s.

b)

Egy molekula 6 szabadsági fokkal rendelkezik, így az ekvipartíció tétel szerint egy‐egy molekula átlagos energiája

ε = 6 \cdot (1 / 2) k T = 2, 07 \cdot 10^{- 20}

c)

A hőkapacitás definíciója szerint

C = Δ Q / Δ T

, ahol

Δ Q

a közölt hő a hőmérséklet

Δ T

-vel való megváltoztatásakor. A belső energia változása a kinetikus gázelmélet alapján:

\begin{matrix} Δ U = (f / 2) N k Δ T, \end{matrix}

ahol

N

az anyag molekuláinak száma. 16 g metánban

6 \cdot 10^{23}

molekula van,

0, 9

g-ban

N = (0, 9 / 16) \cdot 6 \cdot 10^{23} = 3, 375 \cdot 10^{22}

molekula van.

Állandó térfogaton nincs munkavégzés, ezért

Δ Q = Δ U

, így

\begin{matrix} C_{v} = (f / 2) N k = 1, 397 J/K . \end{matrix}

Állandó nyomáson térfogati munkát is kell végezni. Ez

\begin{matrix} Δ W = p Δ V = N k Δ T . \end{matrix}

Ennélfogva állandó nyomáson a

\begin{matrix} Δ Q = Δ U + p Δ V \end{matrix}

összefüggés érvényes, így a hőkapacitás

\begin{matrix} C_{p} = (f / 2) N k + N k = [(f + 2) / 2] N k = 1, 867 J/K . \end{matrix}

Horváth Péter (Gyöngyös, Berze Nagy J. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A molekulák sebességének eloszlására fennáll a Maxwell‐féle sebességeloszlási törvény, amely szerint azoknak a molekuláknak a

Δ N / N

relatív száma, amelyek sebessége

v

és

v + Δ v

közé esik:

\begin{matrix} \frac{Δ N}{N} = f (v) Δ v, \end{matrix}

ahol az úgynevezett eloszlási függvény:

\begin{matrix} f (v) = \frac{4}{\sqrt[]{π}} {(\frac{m}{2 k T})}^{3 / 2} v^{2} exp (- \frac{m v^{2}}{2 k T}) . \end{matrix}

Itt

m

egy molekula tömege (lásd Budó Á.: Kísérleti Fizika, I. 421. o.). A molekulák átlagsebessége (számtani közép)

\begin{matrix} \bar{v} = \int_{0}^{\infty} v f (v) d v = \frac{2}{\sqrt[]{2 π}} \sqrt[]{\frac{2 k T}{m}} . \end{matrix}

Számadatainkkal

v = 811, 2

m/s.

Ez kicsit más, mint a feladatban kiszámolt sebességnégyzet átlagából vont négyzetgyök.
Fáth Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)