Feladat:	1828. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frei Zsolt ,  Gondos Anikó
Füzet:	1983/november, 177. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb változó áram, Soros RLC-kör, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: 1828. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A kiindulási helyzetben a kondenzátor töltése zérus; az átkapcsolás után az ellenálláson keresztül elkezd feltöltődni. A kondenzátorra és az ellenállásra eső feszültség együtt $U_C+U_R=U=200$ V, az ellenálláson átfolyó áram pedig $I=\frac{U-U_C}{R}$. Amíg $U_C$ 0 és 2 V közé esik, az áramot $1\%$-os hibával vehetjük $I=\frac{U}{R}$-nek. Ez az áram $t_1$ idő alatt tölti fel a kondenzátort $U_1=2$ V-ra, így $U_1=\frac{I{t}_1}{C}$, ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle t_1=\frac{U_1}{U}CR=\frac{2\text{ V}}{200\text{ V}}\cdot 2\mu \text{F}\cdot 1\text{ M}\Omega =0\mathrm{,}02\text{ s}\mathrm{.}}\end{array}$ Hosszabb idő után kondenzátor feltöltődik az $U$ tápfeszültségre, így a visszakapcsolás utáni pillanatban az ellenállásra 200 V esik, majd megkezdődik a kondenzátor kisülése az ellenálláson keresztül. Amikor a kondenzátor feszültsége $U_2=198$ V, az ellenálláson ez a feszültség esik, így az áramerősség $I=U_2/R$, ami $1\%$-os hibával $I=U/R$-nek vehető. Ez az áram $t_2$ idő alatt annyi töltést szállít el, hogy a kondenzátor feszültsége $U-U_2=2$ V-tal csökken, így $U-U_2=\frac{I{t}_2}{C}$. Ebből ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle t_2=\frac{U-U_2}{U}CR=\frac{200\text{ V}-198\text{ V}}{200\text{ V}}\cdot 2\mu \text{F}\cdot 1\text{ M}\Omega =0\mathrm{,}02\text{ s}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   Megjegyzés. Ha a feltöltődést vagy a kisülést tovább akarjuk követni, az áram már nem tekinthető állandónak. A kondenzátor feszültségének időbeli változását feltöltéskor a következő differenciálegyenlet írja le: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C\left(t\right)+RC{\dot{U}}_C\left(t\right)=U\mathrm{.}}\end{array}$ Kisüléskor pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C\left(t\right)+R_C{\dot{U}}_C\left(t\right)=0.}\end{array}$ A két esetben a kezdeti feltétel: $U_C\left(0\right)=0$, illetve $U_C\left(0\right)=U$, a kezdeti feltételeket kielégítő megoldások: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_C\left(t\right)=U\left(1-e^{-t/RC}\right)\mathrm{,}\text{illetve}{U}_C\left(t\right)=U{e}^{-t/RC}\mathrm{.}}\end{array}$ A kondenzátor feszültségének időbeli változását grafikonon ábrázoltuk. A görbe az átkapcsolások után egy rövid ideig lineárisnak vehető (ezt használtuk ki a közelítő megoldásban), később aszimptotukusan tart a kondenzátor feltöltött, illetve kisütött állapotához.    Gondos Anikó (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., IV. o. t.) és  Frei Zsolt (Pécs, Nagy Lajos Gimn., IV. o. t.)  dolgozata alapján