Feladat:	1825. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Zentai István
Füzet:	1983/november, 174 - 175. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Egyéb síkmozgás, Egyéb ingamozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: 1825. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az elhanyagolható tömegű, merev rúddal összekötött $m_1$, ill. $m_2$ tömegű testből felépített rendszerünkre két külső erő hat: a rendszer $T$ tömegközéppontjában támadó $G=\left(m_1+m_2\right)g$ súlyerő és a sín $K$ kényszerereje. Mivel az $m_1$ tömegű test a sínen súrlódásmentesen mozoghat, $K$ függőleges irányú. Rendszerünkre tehát vízszintes irányú külső erő nem hat, így a rendszer vízszintes irányú impulzusa állandó, nagysága pedig a kezdeti feltételeknek megfelelően zérus. Ez más szóval azt jelenti, hogy a rendszer $T$ tömegközéppontja egy függőleges egyenes mentén mozog. Az $m_2$ tömegű test pályájának meghatározásához válasszuk meg koordináta‐rendszerünket úgy, hogy annak $x$ tengelye a sínnel párhuzamos legyen, az $y$ tengely pedig a $T$ tömegközépponton menjen át (l. az ábrát).     Ha egy időpontban a rúd a függőlegessel $\phi$ szöget zár be, az $m_2$ tömegű test helyzetét az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x=l\text{sin}\phi -s\text{sin}\phi }\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle y=l\text{cos}\phi }\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\end{array}}$ összefüggések határozzák meg, ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle s=l\frac{m_2}{m_1+m_2}}\end{array}$ a $T$ tömegközéppont távolsága az $m_1$ tömegű testtől. Az (1)‐(2) egyenletek a keresett görbét paraméteresen adják meg. A $\phi$ paramétert kiküszöbölhetjük, ha a két egyenletet négyzetre emeljük és összeadjuk. Egyszerű átalakításokkal kapjuk a következő összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{{\left(\frac{l}{1+\frac{m_2}{m_1}}\right)}^2}+\frac{y^2}{l^2}=1.}\end{array}$ (3) Ez egy origó középpontú ellipszis egyenlete, amelynek féltengelyei $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{l}{1+\frac{m_2}{m_1}}\mathrm{,}b=l\mathrm{.}}\end{array}$ Látjuk, hogy $m_2/m_1\approx 0$,$\left(m_1\gg m_2\right)$ esetén $a=b=l$, vagyis a keresett görbe kör, minden más esetben $a<b$. Ha pedig $m_2/m_1$ nagyon nagy $\left(m_1\ll m_2\right)$ akkor $a=0$, tehát az $m_2$ tömegű test az $y$ tengely mentén mozog. Az $m_2$ tömegpont ténylegesen az ellipszis egy olyan ívdarabját futja be, amelyre nézve az $\begin{array}{c}{\displaystyle y\ge l\text{cos}\alpha }\end{array}$ feltétel teljesül, ahol $\alpha$ kezdeti kitérítés szöge.    Zentai István (Székesfehérvár, Teleki B. Gimn., III. o. t.)