Kezdőlap


Feladat:	1818. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fóris Zoltán , Lengyel György , Magyar Péter , Marth Gábor , Törőcsik Jenő
Füzet:	1983/május, 236 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A Föld keringése, Kepler III. törvénye, Newton-féle gravitációs erő, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: 1818. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a Föld hirtelen abbahagyná a keringését a Nap körül, akkor a tömegvonzás miatt egyenes vonalú mozgással a Napba zuhanna. A pályáját egy olyan elfajult ellipszisnek tekinthetjük, amelynek nagytengelye a Föld‐Nap távolság, kistengelye nulla, és egyik fókuszában a Nap áll. Kepler III. törvénye szerint a bolygók keringési idejének négyzete úgy aránylik egymáshoz, mint Naptól mért átlagos távolságuk köbei. Írjuk fel a Földre Kepler III. törvényét a keringés két állapotában, a két ellipszispálya megfelelő adataival:

\begin{matrix} \frac{T^{2}}{T_{e}^{2}} = \frac{R^{3}}{R_{e}^{3}}, \end{matrix}

ahol az

e

index az elfajult ellipszishez tartozó adatokat jelöli. Az elfajult ellipszis nagytengelye

R

, így itt az átlagos Föld‐Nap távolság

R_{e} = R / 2

. Ezt fel használva

\begin{matrix} T_{e} = \sqrt[]{\frac{T^{2} {(R / 2)}^{3}}{R^{2}}} = T \end{matrix}

hiszen a Föld keringési ideje 1 év. A Föld az elfajult ellipszis pályán az ottani keringési ideje fele alatt érné el a Napot, azaz

(1 / 2) \sqrt[]{1 / 8} év \approx 64,5

nap alatt.

Lengyel György (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. A Föld‐Nap rendszer potenciális energiájának csökkenése révén a Föld kinetikus energiára tesz szert:

\begin{matrix} γ m M (\frac{1}{R - x} - \frac{1}{R}) = \frac{1}{2} m v^{2} (x), \end{matrix}

ahol

γ

az általános tömegvonzás állandója

(γ = 6,67 \cdot 10^{- 11} m^{3} {kg}^{- 1} s^{- 2})

, M a Nap tömege

(M = 2 \cdot 10^{30} kg)

m

a Föld tömege,

v (x)

a Föld sebessége, miután már

x

távolságot megtett a Nap irányában.
Írjuk be

v (x)

helyébe a

d x / d t

kifejezést, így a következő differenciálegyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{d x}{d t} = \sqrt[]{\frac{2 γ M}{R}} \sqrt[]{\frac{x}{R - x}}, \end{matrix}

vagy másképpen:

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{R - x}{x}} \frac{d x}{d t} = \sqrt[]{\frac{2 γ M}{R}} . \end{matrix}

Integráljuk mindkét oldalt 0-tól t-ig:

\begin{matrix} \int_{0}^{t} \sqrt[]{\frac{R - x}{x}} \frac{d x}{d t} d t = \sqrt[]{\frac{2 γ M}{R}} t . \end{matrix}

A bal oldali integrál helyettesítéssel így számolható:

\begin{matrix} \int_{0}^{t} \sqrt[]{\frac{R - x}{x}} \frac{d x}{d t} d t = \int_{0}^{R} \sqrt[]{\frac{R - x}{x}} d x = [\sqrt[]{x (R - x)} - R \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} t = \frac{π}{2} \sqrt[]{\frac{R^{3}}{2 γ M}} . \end{matrix}

Ezzel lényegében Kepler III. törvényének az első megoldásban felhasznált alakját kaptuk meg. Numerikusan

t = 64,5

nap, megegyezésben az előző megoldásnál kapott értékkel.

Marth Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)