Feladat:	1815. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/május, 235 - 236. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Gördülés lejtőn, Egyéb merev test síkmozgások, Súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: 1815. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A vízszintes talajon guruló golyó a lejtő aljánál $v_0$ sebességű haladó, és ${\omega }_0$ szögsebességű forgó mozgást végez. Ekkor $v_0=r{\omega }_0$, ahol $r$ a golyó sugara. A lejtőn a golyó forgását csak a súrlódási erő lassítja, ezért a golyóra ható súrlódási erő a lejtőn felfelé mutat. Máris megállapíthatjuk, hogy ha van súrlódás, akkor a golyó lassulása kisebb lesz, és így magasabbra jut a lejtőn. Számítsuk ki, milyen magasra jut a golyó! A golyó mozgásegyenlete a lejtőn: (1) ahol $F_s$ jelöli a súrlódási erőt. A lejtőn megtett út $s=v_0^2/2a$, az elért $h$ magasság pedig $h=s\text{sin}\alpha$. E három egyenletből: (2) Ha a súrlódási együttható kicsi, akkor a súrlódási erő csak kis mértékben képes lassítani a forgó mozgást, és a golyó csúszva gördül. Ekkor a lejtőn (3) Ha a súrlódási együttható elég nagy, akkor a golyó ,,tisztán'' gördülve áll meg, ilyenkor minden pillanatban $r\omega =v$. A forgó mozgás mozgásegyenlete: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta \beta =F_{s}r\mathrm{,}}\end{array}$ (4) ahol $\Theta$ a golyó tehetetlenségi nyomatéka $\left(\Theta =\left(2/5\right)m{r}^2\right)$, és $\beta$ a szöggyorsulása. Gördülés esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle a=r\beta \mathrm{.}}\end{array}$ (5) Az (1), (4) és (5) egyenletekből (6) Gördülésnél a golyó és a lejtő között tapadó súrlódás van, így (7) (6) és (7)-ből ekkor: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu \ge \left(2/7\right)\text{tg}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ Tehát ha a $\mu$ súrlódási együtthatóra $0\leqq \mu <\left(2/7\right)\text{tg}\alpha$, akkor a golyó a lejtőn csúszva gördül, és az elért magasság (2) és (3) felhasználásával $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{v_0^2}{2g\left(1-\mu \text{ctg <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math>}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a súrlódási együttható $\mu \ge \left(2/7\right)\text{tg}\alpha$, akkor a golyó tisztán gördül. Ebben az esetben éri el a legnagyobb magasságot, (2) és (6) segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle h=\frac{7v_0^2}{10g}\mathrm{.}}\end{array}$