Feladat:	1814. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	K. Kiss Ambrus ,  Kiss András
Füzet:	1983/május, 234 - 235. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Rugalmas erő, Nehézségi erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/december: 1814. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Egy test stabil egyensúlyi helyzetben van, ha helyzetéből kis mértékben kitérítve, visszatér eredeti helyzetébe. Nézzük meg, milyen feltételek mellett tér vissza a rúd a függőleges helyzetbe! Jelöljük a rugók eredeti hosszát $h$-val, megnyúlásukat az egyensúlyi helyzetben $d$-vel! (Ha a rugók az egyensúlyi helyzetben össze vannak nyomva, akkor $d$ negatív.) Térítsük ki a rudat eredeti helyzetéből $\Delta \alpha$ szöggel, ahogy az az ábrán látható! Igen kis kimozdítás esetén a rugók helyzete még vízszintesnek tekinthető. Megnyúlásuk $\Delta x$-szel változik meg, így $F_1=D\left(d+\Delta x\right)$ illetve $F_2=D\left(d-\Delta x\right)$ nagyságú erővel hatnak a rúdra. A rúdra hat még az $m\cdot g$ nehézségi erő, és a csuklóban fellépő erő. A rúd akkor billen vissza eredeti helyzetébe, ha a rá ható erők forgatónyomatéka ezt lehetővé teszi. A rugóerők hatásvonala a forgástengelytől $l$ távolságra van, a nehézségi erő hatásvonala pedig $\Delta x/2$ távolságra. Így a visszabillenés feltétele: Az egyenlőtlenséget átrendezve a direkciós erőre a következő korlátot kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle D>\frac{mp}{4l}\mathrm{.}}\end{array}$    K. Kiss Ambrus (Nagykőrös, Arany J. Gimn., II. o. t.)   II. megoldás. A virtuális munka elve értelmében egy rendszer akkor van stabil egyensúlyi helyzetben, ha ebből a helyzetből kicsit kitérítve, a rendszer energiája növekszik. Az előző megoldás jelöléseit használva írjuk fel, hogyan változik a rendszer energiája! A rúd függőleges helyzetében a rugók együttes energiája $2\cdot \left(1/2\right)D{d}^2$, a rúd helyzeti energiája pedig $mg\left(l/2\right)$, ha a helyzeti energia nulla szintjét a vízszintes talajhoz rögzítjük. Ha a rudat $\Delta \alpha$ szöggel kitérítjük, a rugók együttes energiája $\left(1/2\right)D{\left(d+\Delta x\right)}^2+\left(1/2\right)D{\left(d-\Delta x\right)}^2$ lesz, a rúd helyzeti energiája pedig $mg\left(1/2-\Delta y\right)$. A stabil egyensúlyi helyzet feltétele az energia növekedése, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \left(1/2\right)D{d}^2+mg\left(l/2\right)<\left(1/2\right)D{\left(d+\Delta x\right)}^2+\left(1/2\right)D{\left(d-\Delta x\right)}^2+mg\left(l/2-\Delta y\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az ábráról leolvashatók a következő összefüggések: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta x\approx l\Delta \alpha \mathrm{,}\Delta y\approx \frac{\Delta x}{2}\cdot \frac{\Delta \alpha }{2}\approx \frac{l\Delta \alpha }{2}\cdot \frac{\Delta \alpha }{2}=\frac{l{\left(\Delta \alpha \right)}^2}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket az összefüggéseket felhasználva az előző egyenlőtlenségből a direkciós erőre ismét az előbbi feltételt kapjuk.    Kiss András (Kőszeg, Jurisich M. Gimn., II. o. t.)