Feladat:	1810. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1983/május, 228 - 231. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Ütközések, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: 1810. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A feladat megoldásakor feltételezzük, hogy $x>l-l_0$, ellenkező esetben nem történik ütközés. Az elengedett $M$ tömegű test az ütközésig $\sqrt[]{D/m}$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgás egy szakaszát teszi meg. Ha a $m$ tömegű test elhelyezkedési irányát vesszük pozitívnak, és az időt az elengedéstől számítjuk, a $M$ tömegű test $s$ kitérését a nyugalmi helyzetétől az idő függvényében a következő képlet adja meg: (1) A mechanikai energia megmaradásának tétele szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)D{x}^2=\left(1/2\right)D{s}^2+\left(l/2\right)M{v}^2\mathrm{,}}\end{array}$ (2) ahol $v$ a $M$ tömegű test sebessége a szóban forgó $s$ kitérésnél. A (2) összefüggésből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\sqrt[]{\left(D/M\right)\left(x^2-s^2\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A $M$ tömegű test sebessége az ütközéskor $\begin{array}{c}{\displaystyle v^{*}=\sqrt[]{\left(D/M\right)\left[z^2-{\left(l-l_0\right)}^2\right]}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Az ütközés $t^{*}$ pillanatában (1) alapján (5) Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle t^{*}=\sqrt[]{\frac{M}{D}}\text{arc}\text{cos}\left(\frac{l_0-l}{x}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (6) Tekintsük ezek után az ütközés különböző eseteit! $a)$ Legyen $v^{\text{'}}$ és $u^{\text{'}}$ a $M$ és a $m$ tömegű testek sebessége a rugalmas ütközés után.   1. ábra   Az impulzusmegmaradás törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle M{v}^{*}=M{v}^{\text{'}}+m{u}^{\text{'}}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) Rugalmas ütközés esetén teljesül a mechanikai energia megmaradásának törvénye: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{M{\left(v^{*}\right)}^2}{2}=\frac{M{\left(v^{\text{'}}\right)}^2}{2}+\frac{m{\left(u^{\text{'}}\right)}^2}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (8) A (7), (8) egyenletekből kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle v^{\text{'}}=\frac{M-m}{M+m}{v}^{*}\mathrm{,}{u}^{\text{'}}=\frac{2M}{M+m}{v}^{*}\mathrm{.}}\end{array}$ (9-10) Az ütközés után a $m$ tömegű test $u^{\text{'}}$ sebességgel egyenesvonalú egyenletes mozgást, a $M$ tömegű test pedig $x^{\text{'}}$ új amplitúdóval, $\sqrt[]{D/M}$ körfrekvenciával harmonikus rezgőmozgást végez.   2. ábra   A mechanikai energiamegmaradás tétele szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)D{\left(x^{\text{'}}\right)}^2=\left(1/2\right)D{\left(l-l_0\right)}^2+\left(1/2\right)M{\left(v^{\text{'}}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (11) A (4) és (9) összefüggéseket felhasználva, a (11) egyenletből kapjuk $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\text{'}}=\frac{M-m}{M+m}\sqrt[]{x^2+\frac{4Mm}{{\left(M-m\right)}^2}{\left(l-l_0\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (12) Ha a $m$ tömegű test ezen $x^{\text{'}}$ amplitúdón belül található még a $M$ tömegű test mozgásának egy periódusáig, akkor újabb ütközés következik be. Ez csak $m>M$ esetén történhet meg, ellenkező esetben ugyanis $v^{\text{'}}$ és $u^{\text{'}}$ egyirányú és $v^{\text{'}}<u^{\text{'}}$, így a $m$ tömegű test az $x^{\text{'}}$ amplitúdón kívülre kerül, még mielőtt a $M$ tömegű test elérné mozgásának az ütközést követő szélső helyzetét.   3. ábra   A 3. ábráról leolvasható, hogy a második ütközés akkor következik be, ha a $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t=\sqrt[]{\frac{D}{M}}\left(2\pi -\text{arc}\text{cos}\frac{l-l_0}{x^{\text{'}}}-\text{arc}\text{cos}\frac{l-l_0+u^{\text{'}}\Delta t}{x^{\text{'}}}\right)}\end{array}$ (13) transzcendens egyenletnek van $\Delta t$-re megoldása. $M$ és $m$ megfelelő aránya esetén tetszőleges számú ütközés lehetséges. A $m=\infty$ határesetben a $m$ tömegű test falként veri vissza a $M$ tömegű testet, amellyel ‐ periodikus mozgást végezve ‐ újra és újra ütközik.   4. ábra   A mozgás fontosabb eseteit az 1., 2., 3., 4. ábrák mutatják. $b)$ Ebben az esetben a két tömeg az ütközés után közvetlenül egyforma $v^{\text{'}}$ sebességgel mozog, így az impulzusmegmaradás tétele az $\begin{array}{c}{\displaystyle M{v}^{*}=M{v}^{\text{'}}+m{v}^{\text{'}}}\end{array}$ (14) alakot ölti. Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle v^{\text{'}}=\frac{M}{M+m}{v}^{*}\mathrm{.}}\end{array}$ (15) Az ütközés után a $m$ tömegű test $v^{\text{'}}$ sebességű egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, a $M$ tömegű test pedig a rugó fékező hatására elválik tőle, és harmonikus rezgőmozgást végez. Az 5. ábrából jól látható, hogy ekkor nem képzelhető el másodszori ütközés, hiszen a $m$ tömegű test mozgását leíró egyenes érinti a $M$ tömegű test szinuszos idő ‐ elmozdulás diagramját.   5. ábra   A $M$ tömegű test mozgásának új amplitúdóját a (11)-nek megfelelő egyenletből határozhatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\text{'}}=\frac{M}{M+m}\cdot \sqrt[]{x^2+\frac{2Mm+m^2}{M^2}{\left(l-l_0\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (16) $c)$ Ha az ütközés után együtt marad a két test, akkor mozgásuk $\sqrt[]{\frac{D}{M+m}}$ körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgás lesz. Az $x^{\text{'}}$ új amplitúdót meghatározó egyenlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(1/2\right)D{\left(x^{\text{'}}\right)}^2=\left(1/2\right)D{\left(l-l_0\right)}^2+\left(1/2\right)\left(M+m\right){\left(v^{\text{'}}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (17) Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle x^{\text{'}}=\sqrt[]{\frac{M}{M+m}\left[x^2+\frac{m}{M}{\left(l-l_0\right)}^2\right]}\mathrm{.}}\end{array}$ (18)