Kezdőlap


Feladat:	1806. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Újvári Zsuzsanna
Füzet:	1983/április, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Egyéb Newton-törvény, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: 1806. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $h$ magasságból leejtett medve sebessége a cölöppel való ütközés előtti pillanatban

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g h} . \end{matrix}

(1)

Az ütközés rugalmatlan. Legyen

u

a két test együttes sebessége az ütközés után. Az impulzusmegmaradás törvényéből

\begin{matrix} m_{2} v = (m_{1} + m_{2}) u, \end{matrix}

(2)

ahol

m_{1}

a cölöp,

m_{2}

a medve tömege.
A talaj

F

átlagos erővel hat a cölöpre, ezért a cölöp és a medve ‐

a

gyorsulással

u

sebességről zérus sebességre fékeződik le. Közben

s = 2 cm

utat tesznek meg. Így teljesül a következő összefüggés:

\begin{matrix} u = \sqrt[]{2 a s} . \end{matrix}

(3)

Írjuk fel az

m_{1} + m_{2}

tömegű testre Newton II. törvényét:

\begin{matrix} - F + (m_{1} + m_{2}) g = (m_{1} + m_{2}) (- a) . \end{matrix}

(4)

Az (1), (2) és (3) összefüggés felhasználásával a gyorsulás értéke meghatározható:

\begin{matrix} - a = - \frac{m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} g \frac{h}{s} . \end{matrix}

A (4) összefüggés alapján

F

értéke:

\begin{matrix} F = \frac{m_{2}^{2}}{m_{1} + m_{2}} g \frac{h}{s} + (m_{1} + m_{2}) g . \end{matrix}

A feladat adataival a talaj fékezőereje

F = 1, 7 \cdot 10^{5} N

A cölöpre maximálisan

G

súlyt tehetünk anélkül, hogy a cölöp tovább süllyedne. Az egyensúlyt a talaj

F

ellenereje biztosítja:

\begin{matrix} G + m_{1} g = F . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} G = F - m_{1} g = 1, 64 \cdot 10^{5} N . \end{matrix}

A cölöp tehát

1, 64 \cdot 10^{4} kg

tömeget bír el további süllyedés nélkül.

Molnár István (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. Sok megoldó az energiamegmaradás törvénye alapján próbálta megoldani a feladatot. A talajerő így is meghatározható, ha figyelembe vesszük, hogy az ütközés rugalmatlan, és így a mechanikai energia egy része hővé alakul. Ez a hő az (1), (2) összefüggések alapján könnyen meghatározható:

\begin{matrix} Q = \frac{1}{2} m_{2} v^{2} - \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) u^{2} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g h = 4800 J . \end{matrix}

Az ütközés után

F

értéke a munkatétel alapján számolható:

\begin{matrix} (1 / 2) (m_{1} + m_{2}) u^{2} + (m_{1} + m_{2}) g s = F s . \end{matrix}

A (3) összefüggést felhasználva

F

-re az előbbi kifejezést kapjuk.