Feladat:	1801. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/április, 180 - 181. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkinga, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/október: 1801. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A golyó mozgása két részből tevődik össze: a vályúban történő csúszásból, ill. gördülésből, és az ezt követő ferde hajításból. A ferde hajítás $v_0$ kezdősebességét az energiamegmaradás tételéből tudjuk kiszámítani. Két esetet különböztethetünk meg: a) a golyó és a vályú fala között nincs súrlódás, b) a golyó tapad a vályúhoz. Az a) esetben a golyó $mg\left(R-h-r\text{cos}\alpha \right)$ helyzeti energia csökkenése $\left(1/2\right)m{v}_0^2$ kinetikai energiává alakul át, míg a b) esetben a mozgási energia mellett az $\left(1/2\right)\Theta {\omega }_0^2$ forgási energiát is fedezi. A gömb alak miatt a tehetetlenségi nyomaték $\Theta =\left(2/5\right)m{r}^2$, a vályú elhagyásakor a szögsebesség ${\omega }_0=v_0/r$ (a tiszta, csúszásmentes gördülés miatt). Ezekből az a) esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{2g\left(R-h-r\text{cos}\alpha \right)}\mathrm{,}}\end{array}$ (1a) a b) esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle v_0=\sqrt[]{\left(10/7\right)g\left(R-h-r\text{cos}\alpha \right)}}\end{array}$ (1b) sebesség adódik. Ha a súrlódás nem olyan nagy, hogy a mozgás során végig tudja biztosítani a tapadás feltételét (ami az indításnál triviálisan teljesül), akkor a golyó megcsúszik, és kisebb forgási energiára tesz szert, mint $\left(1/2\right)\Theta {\omega }_0^2$. Ekkor mechanikai energia veszteség lép fel, és a $v_0$ végsebesség az (1a) és az (1b) egyenletekkel megadott értékek közé esik. A ferde hajítás iránya a vályú megszakítási pontjában húzott érintővel egyezik meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\alpha =\frac{R-h}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A repülés $t$ ideig tart. Ez alatt vízszintes irányban $v_0\text{cos}\alpha$ sebességgel $s-\left(R-r\right)\text{sin}\alpha$ utat tesz meg a test, függőleges irányban pedig $-h-r\text{cos}\alpha +r$ utat tesz meg: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle s-\left(R-r\right)\text{sin}\alpha =v_{0}t\text{cos}\alpha \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle -h-r\text{cos}\alpha +r=v_{0}t\text{sin}\alpha -\left(1/2\right)g{t}^2\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\end{array}}$ A (3), (4) egyenletekből a kérdéses $s$ távolság meghatározható. Ha $r\ll h$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle s=R\text{sin}\alpha +\frac{v_0^2\cdot \text{sin}2\alpha }{2g}+v_0\text{cos}\alpha \sqrt[]{\frac{v_0^2\text{sin}{}^2\alpha }{g^2}+\frac{2h}{g}}\mathrm{,}}\end{array}$ (5) ahol $v_0$, ill. $\alpha$ az (1), (2) összefüggésekből számolható.   Ha a golyó a ferde hajítás során forog (${\omega }_0$ szögsebességgel), akkor az $s$ távolság az (5)-beli értéknél a valóságban rövidebb lesz (Magnus-hatás, lásd pl. Budó: Kísérleti Fizika, I. kötet, 278. oldal).