Kezdőlap


Feladat:	1787. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Danyi Pál , Tóth Gábor
Füzet:	1983/március, 131 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	I. főtétel, Gázok fajhője (mólhője), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: 1787. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Keressük azon $(p, V)$ pontok mértani helyét a $p - V$ síkon, a) ahová a $p_{0}$ , $V_{0}$ pontból olyan állapotváltozáson keresztül jutunk, amelyek képe a $p - V$ síkon egy egyenes, b) a teljes állapotváltozás során közölt összes hő egy adott érték.
A gázzal közölt hőt, a $p$ , $V$ pontban történő fenti állapotváltozás során az I. főtétel segítségével határozhatjuk meg:

\begin{matrix} Δ Q = Δ U - Δ W . \end{matrix}

(1)

A gázon végzett munka abban az esetben, ha az állapotváltozást egyenes adja meg, az egyenes által meghatározott trapéz területe (1. ábra):

1. ábra

\begin{matrix} Δ W = \frac{(V - V_{0}) (p + p_{0})}{2} . \end{matrix}

(2)

Ideális gáz esetén a belső energia megváltozását a hőmérsékletváltozásból meghatározhatjuk:

\begin{matrix} Δ U = C_{V} n (T - T_{0}) . \end{matrix}

(3)

Az egyesített gáztörvény szerint

T = p V / n R

. A (2) és (3) kifejezést az (1) összefüggésbe beírva kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ Q = C_{V} n [(p V / n R) - (p_{0} V_{0} / n R)] + (1 / 2) (V - V_{0}) (p + p_{0}) \end{matrix}

(4)

A (4) egyenlet rögzített

Δ Q

esetén megadja azon

(p, V)

pontokat, amelyeket a feladat kérdez. Hogy a keresett mértani helyet könnyebben megadhassuk,

C_{V} = (3 / 2) R

-t beírva,

p

-re rendezzük az egyenletet:

\begin{matrix} p = - \frac{1}{4} p_{0} + \frac{15 p_{0} V_{0} + 8 Δ Q}{16 V - 4 V_{0}} . \end{matrix}

(5)

Ebből az alakból már könnyebben láthatjuk, hogy a keresett mértani hely egy hiperbola, aminek aszimptotái:

\begin{matrix} V = (1 / 4) V_{0} és p = - (1 / 4) p_{0} . \end{matrix}

Mindezideig nem használtuk ki, hogy

Δ Q

-nak milyen előjele van, tehát összefüggéseink pozitív és negatív

Δ Q

-ra is érvényesek. Érdemes röviden megvizsgálni az egyes esetekben a mértani helyeket.

2. ábra

3. ábra

4. ábra

15 p_{0} V_{0} + 8 Δ Q > 0

Ekkor az (5) összefüggés a 2. ábrán látható hiperbolát adja. Természetesen ennek csak az I. síknegyedbe eső része (vastagon húzott rész) a keresett mértani hely. Ha

Δ Q > 0

, akkor a hiperbola a

(p_{0}, V_{0})

pont felett, ha

Δ Q = 0

, a

(p_{0}, V_{0})

ponton keresztül, ha

Δ Q < 0

, a

(p_{0}, V_{0})

pont alatt halad (az ábrán ezt az esetet ábrázoltuk).

II.

15 p_{0} V_{0} + 8 Δ Q = 0

Ebben az esetben a

V = V_{0} / 4

függőleges egyenes a keresett mértani hely (3. ábra).

III.

15 p_{0} V_{0} + 8 Δ Q < O

A hiperbola a 4. ábrán látható módon helyezkedik el. A keresett mértani helyet most is vastagon húztuk meg.
Érdemes még felhívni a figyelmet arra, hogy

Δ Q

az állapotváltozás során történt eredő hőcserét jelöli. Az állapotváltozás valamennyi elemi lépése alatti hőcseréknek az előjele nem kell, hogy megegyezzék

Δ Q

előjelével.

Tóth Gábor (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)